带权二分图的完备匹配算法（JAVA语言实现）

KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹

配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B[i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[

i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立

。KM算法的正确性基于

以下定理：

若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完

备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么

它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小

于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，

B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图

，直到相等子图具有完备匹配为止。

我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它

出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错

树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：



两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图

，现在仍属于相等子图。

两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属

于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属

于相等子图，现在仍不属于相等子图。

X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它

原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入

相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。

以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O

(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值

，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松

弛量”函数slack，每

次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在

相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时

，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改

顶标后，要把所有的

slack值都减去d。

package test;

public class KM {

    public static final int INF = 1000000;

    private int row, col, size;

    private int[][] edge;

    private int[] flag;

    private int[] hQuan;

    private int[] vQuan;

    private boolean[] hToken;

    private boolean[] vToken;

    public KM(int[][] pic) {
        edge = pic;
        row = edge.length;
        col = edge[0].length;
        hToken = new boolean[row];
        vToken = new boolean[col];
        hQuan = new int[row];
        vQuan = new int[col];
        size = row > col ? col : row;
        if (row == size) {
            flag = new int[col];
        } else {
            flag = new int[row];
        }
        init();
    }

    private void init() {
        for (int i = 0; i < flag.length; i++) {
            flag[i] = -1;
        }
        for (int i = 0; i < hToken.length; i++) {
            hToken[i] = false;
        }
        for (int i = 0; i < vToken.length; i++) {
            vToken[i] = false;
        }
        if (row == size) {
            for (int i = 0; i < vQuan.length; i++) {
                vQuan[i] = 0;
            }
            for (int i = 0; i < hQuan.length; i++) {
                hQuan[i] = -INF;
                for (int j = 0; j < vQuan.length; j++) {
                    hQuan[i] = max(hQuan[i], edge[i][j]);
                }
            }
        } else {
            for (int i = 0; i < hQuan.length; i++) {
                hQuan[i] = 0;
            }
            for (int i = 0; i < vQuan.length; i++) {
                vQuan[i] = -INF;
                for (int j = 0; j < hQuan.length; j++) {
                    vQuan[i] = max(vQuan[i], edge[j][i]);
                }
            }
        }
    }

    public boolean km() {
        int[][] map = new int[row][col];
        if (row == size) {
            int dmin = INF;
            do {
                for (int i = 0; i < row; i++) {
                    for (int j = 0; j < col; j++) {
                        if (hQuan[i] + vQuan[j] == edge[i][j])
                            map[i][j] = 1;
                        else
                            map[i][j] = 0;
                    }
                }
                if (hasPerfectMatch(map))
                    return true;

                for (int i = 0; i < row; i++) {
                    for (int j = 0; j < col; j++) {
                        if (hToken[i] && !vToken[j]) {
                            dmin = min(dmin, hQuan[i] + vQuan[j] - edge[i][j]);
                        }
                    }
                }
                if (dmin != INF && dmin > 0) {
                    for (int i = 0; i < row; i++) {
                        if (hToken[i])
                            hQuan[i] -= dmin;
                    }
                    for (int i = 0; i < col; i++) {
                        if (vToken[i])
                            vQuan[i] += dmin;
                    }
                }
            } while (dmin != INF && dmin > 0);
            return false;
        } else {
            int dmin = INF;
            do {
                for (int i = 0; i < row; i++) {
                    for (int j = 0; j < col; j++) {
                        if (hQuan[i] + vQuan[j] == edge[i][j])
                            map[i][j] = 1;
                        else
                            map[i][j] = 0;
                    }
                }
                if (hasPerfectMatch(map))
                    return true;

                for (int i = 0; i < col; i++) {
                    for (int j = 0; j < row; j++) {
                        if (vToken[i] && !hToken[j]) {
                            dmin = min(dmin, hQuan[i] + vQuan[j] - edge[i][j]);
                        }
                    }
                }
                if (dmin != INF && dmin > 0) {
                    for (int i = 0; i < row; i++) {
                        if (hToken[i])
                            hQuan[i] += dmin;
                    }
                    for (int i = 0; i < col; i++) {
                        if (vToken[i])
                            vQuan[i] -= dmin;
                    }
                }
            } while (dmin != INF && dmin > 0);
            return false;
        }
    }

    /**
     * judge whether the map has a perfect match.
     * @param map indicates whether each two points have been connected.
     * @return true if there is a perfect match in the map, or false.
     */
    public boolean hasPerfectMatch(int[][] map) {
        int i, j;
        if (row == size) {
            for (i = 0; i < flag.length; i++)
                flag[i] = -1;

            for (i = 0; i < size; i++) {

                for (j = 0; j < hToken.length; j++)
                    hToken[j] = false;
                for (j = 0; j < vToken.length; j++)
                    vToken[j] = false;
                if (!findAugumentPath(i, map/* ,token */))
                    break;
            }
            if (i < row)
                return false;
            return true;
        } else {
            for (i = 0; i < flag.length; i++)
                flag[i] = -1;

            for (i = 0; i < size; i++) {

                for (j = 0; j < hToken.length; j++)
                    hToken[j] = false;
                for (j = 0; j < vToken.length; j++)
                    vToken[j] = false;
                if (!findAugumentPath(i, map))
                    break;
            }
            if (i < row)
                return false;
            return true;
        }
    }

    /**
     * judge whether there is a augument path at the <code>pos</code> point in
     * <code>map</code>
     * @param pos the order of the special point in the map
     * @param map the map's maltrix
     * @return true if there is a augumemt path at the <code>pos</code> point in
     *  the <code>map</code
     */
    public boolean findAugumentPath(int pos, int[][] map) {
        if (row == size) {
            hToken[pos] = true;
            for (int i = 0; i < col; i++) {
                if (map[pos][i] == 1 && vToken[i] == false) {
                    vToken[i] = true;

                    if (flag[i] == -1 || findAugumentPath(flag[i], map)) {
                        flag[i] = pos;
                        return true;
                    }
                }
            }
            return false;
        } else {
            vToken[pos] = true;
            for (int i = 0; i < row; i++) {
                if (map[i][pos] == 1 && hToken[i] == false) {
                    hToken[i] = true;

                    if (flag[i] == -1 || findAugumentPath(flag[i], map)) {
                        flag[i] = pos;
                        return true;
                    }
                }
            }
            return false;
        }
    }

    /**
     * compute the max number of two
     * @param i one digit used to compare with another one
     * @param j the other digit used to compare with the first one
     * @return the bigger one number of this two
     */
    public int max(int i, int j) {
        return i > j ? i : j;
    }

    public int min(int i, int j) {
        return i > j ? j : i;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] edge = { { 7, 6, 5 }, { 4, 1, 8 }, { 3, 2, 9 } };
        KM temp = new KM(edge);
        temp.km();

        System.out.println("hello");
    }
}