斐波那契数列

一、斐波那契数列问题背景

斐波那契（Leonardo Pisano Fibonacci）约出生于1170年，大约于1250年在现在意大利 的比萨逝世，他履行的足迹遍布欧洲和北非。他著有多本数学课本，此外还把阿拉伯数字表示法引入欧洲。虽然他的书都是手抄本，但它们还是广为流传。斐波那契最著名的一本书是LiberAbaci，出版于1202年。其中提出了下述问题：

某人将一对兔子 放在一个四周都是围墙的地方，如果假设每对兔子每个月生出一对兔子，且新生的兔子从第二个月开始就能生育，那么一年之后由最初的那对兔子一共产生多少对兔子

这个问题的解就是被称为斐波那契数列的集合：₁、1、²、3、Õ、8、13....

通项公式为

注意，这个表述稍微转换一种说法——如果没有假设新生出的兔子需要一个月才能够成熟，进而能够生育，那么将不会有这个以斐波那契的名字命名的序列。因为这样的话，兔子的对数每过一个月就会翻倍，n个月过后，会有总共

 对兔子，虽然规律共容易，但在数学上没啥独特性。

二、标准的递归解-程序实现

 

 

三、线性代数视角下的对角化解

 

3.1 原理探讨

通过上面的讨论，我们有 斐波那契数列的递推式为

总体思路：我们可以使用矩阵对角化来解决，将上面的式子化成 

 的形式，继而化成

•  ，为了容易计算 

•  ，我们采用对角化的方式

1. 1、组成方程组：

2. 2、根据上述方程组成矩阵表达式：
3. 3、求系数矩阵A的特征值和特征向量已对A进行对角化，
4. 4、特征向量矩阵S为：
5. 5、将 

 用特征向量表示， 

 2020-12-242020-12-2410:35:31

 

所以给出k值，可以直接算出需要的斐波那契数列值，不必递归才能得到。

3.2代码实现

使用matlab编写上述步骤：

>>> slogan = "Life is short, I use Python"

>>> print
>>> <built-in function print>
>>> print(slogan)
>>> Life is short, I use Python

>>> len
>>> <built-in function len>
>>> len(slogan)
>>> 27

 

结果为：

学习线性代数真是有趣~

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表
格

 

 

 

 

参考来源

《MATLAB数值计算》书籍

《线性代数及其应用》书籍

《MIT线性代数》课程，这门课真是精彩！