并查集

1. 定义：并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题

2. 两个操作：

（1）合并两个不相交的集合；

       待合并的集合间是没有交集的，合并后集合内部元素不重复

（2）查找给定元素所属的集合

 

3. 集合代表：为每个集合选定一个固定的元素，称为代表(根结点)，以表示整个集合 

（1）合并两个不相交的集合
         本质：使一个集合的祖先(代表)成为另一个集合的祖先(代表)

（2）查找给定元素的所属的集合

        本质：找到所在集合的代表

 

4. 并查集的链表表示
（1）每一个集合用一个链表表示、
（2）链表的每一个元素代表集合的一个成员
（3）链表的第一个元素作为集合的代表
（4）链表中的元素顺序可以是任意的

 

5. 并查集的树型表示
（1）每棵树表示一个集合
（2）树中结点代表集合中的元素
（3）树的根作为集合的代表
（4）树中指针的指向不是唯一的
（5）使用一维数组模拟树

 

6. 构造树型并查集

 

7.并查集的树型结构的优化

  树型结构的瓶颈：查找和合并操作的核心是查找，找根时间复杂度是O(n)，找到根后合并集合的时间复杂度是O(1)

  优化思想：给出元素，尽量减少找根的时间

  优化方法：（1）按秩合并
                               按  树的结点个数 或 树的深度 合并
                               降低查找根的时间复杂度由O(n) 变成 O(lgn)
                     （2） 路径压缩
                              由O(lgn) 变成近似常数

 

优化一、按树的结点个数合并
思想：使结点个数少的树成为结点个数多的树的子树。
集合合并时，如果都是按照结点个数进行合并，那么任意结点的深度均不超过logn  +  1

 

优化二、按树的深度合并

思想：使深度浅的树成为深的树的子树，新生成的树，深度不会增加
集合合并时，如果都是按照树的深度进行合并，那么任意结点的深度均不超过logn  +  1

 

优化三、路径压缩

路径压缩的原因：

（1）集合按秩合并时，仍能形成深度为lgn的树
（2）节点找根时，需要遍历一遍所在路径才能找到根
（3）对于一个节点，我们只关心它属于哪个集合（只关心它的根是谁，而不关心他的父亲是谁）
思想：在查找根时，可以直接把路径上的所有元素的父亲变成根，下次查找可以直接找到根
总体上，查找的时间复杂度基本可以认为是常数的