差分

本质思想

构造一个 \(b\) 数组， 满足 \(a\) 数组是 \(b\) 数组的前缀和。
差分是前缀和的逆运算。

P2367 语文成绩

P2367 语文成绩 - 洛谷

暴力模拟过不了，时间复杂度是 \(\operatorname O(n^2)\)。

差分思想

• 对于数组 \(a\)，定义 \(a\) 的差分数组为 \(b\)，其中 \(b_1 = a_1, b_i = a_i - a_{i - 1}(2\leq i\leq n)\)

\(i\)	1	2	3	4	5	6	7	8
\(a_i\)	1	1	2	2	1	3	3	5
\(b_i\)	1	0	1	0	-1	2	0	2

• 对数组 \(b\) 求前缀和：

  \[\sum_{i = 1}^n b_i = a_1 + \sum_{i = 2}^n(a_i - a_{i - 1}) = \sum_{i =1}^n a_i - \sum_{i = 1}^{n-1}a_i = a_n \]

• 可以发现

  • 若将 \(b_x\) 增加 \(1\)，再对 \(b\) 数组求前缀和得到 \(a\) 数组，那么得到的 \(a\) 数组中 \(a_x, a_{x+1},\dots ,a_n\) 均增加 \(1\)。

  • 若将 \(b_y\) 减少 \(1\)，再对 \(b\) 数组求前缀和得到 \(a\) 数组，那么得到的 \(a\) 数组中 \(a_y, a_{y+1},\dots ,a_n\) 均减少 \(1\)。

  • 例如，对于一个全为 \(0\) 的差分数组 \(b\)，若将 \(b_3\) 增加 \(1\)，将 \(b_6\) 减少 \(1\)，得到的 \(a\) 数组如表所示：

    \(i\)	1	2	3	4	5	6	7	8
    \(b_i\)	0	0	+1	0	0	-1	0	0
    \(a_i\)	0	0	1	1	1	0	0	0

• 因此，将 \(a\) 数组中第 \(x\) 元素到第 \(y\) 元素增加 \(z\) 的修改操作，可以转化为将 \(b_x\) 增加 \(z\)，\(b_{y + 1}\) 减少 \(z\)，最后再对 \(b\) 数组求前缀和。

• 这样，对于每次修改操作，只需要修改 \(2\) 个点，时间复杂度变为 \(\operatorname O(1)\)。

• 同时，因为只有在最后一次修改操作才需要得到 \(a\) 数组的具体值，所以只需要所有修改操作结束后求一次前缀和即可。

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

const int N = 5e6 + 10;

int n, m, x, y, z, a[N], b[N];

int main()
{
 	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	std::cout.tie(nullptr);
	std::cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) std::cin >> a[i], b[i] = a[i] - a[i - 1];
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		std::cin >> x >> y >> z; b[x] += z, b[y + 1] -= z; 
	}
	int min = 0x7fffffff;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		b[i] += b[i - 1]; min = std::min(min, b[i]);
	}
	std::cout << min;
	return 0;
}

P3397 地毯

P3397 地毯 - 洛谷

差分思想

设数组 \(a\) 的差分数组为 \(b\) ，其中 \(a_{x,y} = \sum_{i = 1}^x\sum_{j=1}^yb_{i,j}\)，用前缀和知识可知：

\[b_{x,y} = a_{x,y} - a_{x-1,y} - a_{x,y-1} + a_{x-1,y-1} \]

将 \(b_{2,2}\) 增加 \(1\)，再求二维前缀和，效果如图 \(a\rightarrow b\)。

单独考虑一次覆盖操作，地毯左上角为 \((x_1,y_1)\)，右下角为 \((x_2,y_2)\)。可以转化为：

• 将 \(b_{x_1,y_1},b_{x_2+1,y_2+1}\) 增加 \(1\)。
• 将 \(b_{x_1,y_2+1},b_{x_2+1,y_1}\) 减少 \(1\)。
• 当地毯左上角为 \((2,2)\) 右下角为 \((3,3)\) 修改操作如图 \(c\rightarrow d\)。

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

const int N = 1e3 + 10;
int n, m;
int a[N][N];
int x1, y1, x2, y2;

int main()
{
 	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	std::cout.tie(nullptr);
	std::cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		std::cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
		a[x1][y2 + 1]--, a[x2 + 1][y1]--;
		a[x1][y1]++, a[x2 + 1][y2 + 1]++;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++, std::cout << std::endl)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];
			std::cout << a[i][j] << " ";
		}
	}
	return 0;
}