深入浅出乘法逆元

深入浅出乘法逆元
　1.模的运算律
　2.定义
　3.求解
　　3.1费马小定理
　　3.2扩展欧几里得算法
　　3.3线性求解

深入浅出乘法逆元

模的运算律

先来一波模运算律表：

运算律	内容
交换律	\((a+b)\%p=(b+a)\%p\) \((a\times b)\%p=(b\times a)\%p\)
结合律	\(((a+b)\%p+c)\%p=(a+(b+c)\%p)\%p\) \(((a\times b)\%p\times c)\%p=(a\times (b\times c)\%p)\%p\)
分配率	\(((a+b)\%p\times c)\%p=((a\times c)\%p+(b\times c)\%p)\%p\) \((a\times b)\%p=(a\%p\times b\%p)\%p\) \((a+b)\%p=(a\%p+b\%p)\%p\) \((a-b)\%p=(a\%p-b\%p)\%p\)

定义

有的时候我们需要对一个数取模，这很简单。但是在取模的过程中出现了除数，那么取模就没这么简单了： $$\frac{7}{2}\%4=3\%4=3$$注意：$\frac{7\%4}{2}=\frac{3}{2}=1$是错误的 但万一是$\frac{7^{10000}}{2}\%4$计算机可无法先计算$\frac{7^{10000}}{2}$再$\pmod4$，因为数字太大了。 这个时候我们就需要用到乘法逆元了,事实上:$\frac{7^{10000}}{2}=(7*3)^{10000}$。我们运用模的运算律可以通过边乘边取模即可得到答案，其中3是7在$\pmod 4$意义下的逆元。 关于逆元的严格定义如下： >$若整数b,m互质,并且b\mid a，则存在整数x，使得a/b\equiv a*x\pmod m，则称x为b的模m乘法逆元，记为b^{-1}\pmod m$

求解

3.1费马小定理

[^1] 因为$a/b\equiv a*b^{-1}\equiv a/b*b*b^{-1}\pmod m$，所以$b*b^{-1}\equiv 1\pmod m$[^2] 如果m是质数(此时我们用符号$p$代替$m$)并且$bint ksm(int a,int b,int p) { int ans=1; for(; b; b>>=1,a=a*a%p)if(b&1)ans=ans*a%p; return ans; }

时间复杂度是\(O(\log n)\)

3.2扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法的具体内容参考我写的：[浅析扩展欧几里得算法(exgcd)](http://www.cnblogs.com/kcfzyhq/p/8485063.html) 根据逆元的定义我们要求的是$a*x\equiv1\pmod m$关于x的同余方程，其中x为a在$\pmod m$意义下的逆元 事实上$$ax=my+1······①$$也就是$ax\div m=y······1$ 变形①式得：$$ax-my=1$$ 既然$a,b$都已知，就不难求出$x和y$了(但要注意$y$的系数$-b$必须是正整数，因为在计算机计算过程中如果模数是负的将导致结果出错)如果$-b$不是正整数，我们同时改变$a,b$的符号即可。扩展欧几里得算法代码如下： ```cpp int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b) { int c=exgcd(a,b,y,x); y-=a/b*x; return c; } else { x=1; y=0; return a; } } ``` 时间复杂度是$O(\ln n)$

3.3线性求解

当我们需要求解大量的逆元的时候，前两种的方法时间复杂度都要乘以$n$，时间复杂度都不是很理想。所以我们就用$O(n)$的时间来快速求解。具体做法如下：假设我们要求x的逆元，那么：$$m=k*x+r$$$$k*x+r\equiv0\pmod m$$同乘以$x^{-1}*r^{-1}$得：$$k*r^{-1}+x^{-1}\equiv0\pmod m······①$$将②式变形得：$$x^{-1}\equiv-k*r^{-1}\pmod m$$ 所以我们得到:$$x^{-1}=-\lfloor m/x\rfloor*(m\%x)^{-1}$$ 那么只要建一个数组inv，初始值inv[1]=1。所以代码如下：

	for(int i=2; i<=n; i++)
		inv[i]=-(p/i)*inv[p%i];