二叉树
二叉树的定义
二叉树（binary tree）是指树中节点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树。
满二叉树：如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树（既有左子树又有右子树的二叉树）。
二叉树的五种基本形态
- 空二叉树
- 只有一个根结点的二叉树
- 只有左子树的二叉树
- 只有右子树的二叉树
- 层数大于1的满二叉树（既有左子树又有右子树的二叉树）
二叉树的相关术语
二叉树是特殊的树，故树中的术语可以在二叉树中使用。
- 结点：也称为节点，包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息。
- 结点的度：一个结点拥有子树的数目称为结点的度，二叉树的结点度最少是0，最多是2。
- 叶子结点：也称为终端结点，没有子树的结点或者度为零的结点。
- 分支结点：也称为非终端结点，度不为零的结点称为非终端结点。
- 树的深度：也称为树的高度，树中所有结点的层次最大值称为树的深度。
- 结点的层次：从根结点开始，假设根结点为第1层，根结点的子节点为第2层，依此类推，若某一个结点位于第L层，则其子节点位于第L+1层。
二叉树的性质
- 叶子结点只能出现在最下两层
- 倒数第二层若有叶子结点，一定都在右部连续位置
- 若结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右孩子的情况
- 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小
拓展:
- 一棵非空二叉树的第\(i\)层上最多有\(2^{i-1}\)个结点\((i>=1)\)
- 一棵深度为\(k\)的二叉树中，最多有\(2^k-1\)个结点
- 对于一棵非空的二叉树，如果叶子结点数为\(n_0\)，度数为2的结点数为\(n_2\)，则有\(n_0=n_2+1\)
- 对于具有\(n\)个结点的完全二叉树，如果按照从上至下和从左到右的顺序对二叉树中的所有结点从1开始编号，则对于任意序号为\(i\)的结点:
-
如果\(i>1\),序号为\(i\)的父节点的序号为\(i\)整除2;
如果\(i=1\),序号为\(i\)的结点是根节点。 -
如果\(2i<=n\),序号为\(i\)的结点有左孩子,左孩子结点的序号为\(2i\);
如果\(2i>n\),序号为\(i\)的结点无左孩子。 -
如果\(2i+1<=n\),序号为\(i\)的结点的右孩子结点的序号为\(2i+1\);
如果\(2i+1>n\),序号为\(i\)的结点无右孩子。
-
二叉树的实现方法
C++:
struct BinTree
{
int data,l,r;
};
其中，data表示数据，l指向左孩子，r指向右孩子。
