图基本操作——生成树

1.求图的联通分支

　　对图DFS或者BFS，如果联通这visited 全部true，否则图非联通的。对非联通图求联通分支，只要重复调用DFS。

void connected(void)
{
　　for(int i=0;i<n;i++)
　　{
　　　　if(!visited[i])
 　　　　　　DFS(i);
　　　　　　printf("\n");
　　}
}

2.生成树

　　如果图是联通的，那么广度/深度搜索，都能访问到G的所有顶点，生成树就是有G的所有顶点和边构成的树。

3.联通分支

4.双联通分支与关节点

　　关节点：图G中当地一个顶点v，如果删除v以及v上所有边后，得到的新图G‘至少包含两个联通分支

　　双联通图：没有关节点的连通图

　　无向联通图双联通分支：是图G中的最大双联通子图H

利用图的任意一个深度优先搜索树，可以找出图G的双联通分支。

在深度优先搜索中，顶点的访问顺序为每个顶点的深度优先编号，在一个深度优先生成树中，如果顶点u是顶点v的祖先顶点，dfn(u)<dfn(v)，在图中，非树边为（u,v）为回退边。　　

　　当且仅当，深度优先搜索生成树根结点至少有两个儿子，他就是一个关节点，而任何顶点u非关节点，当且仅当u至少有一个儿子w，从w出发，不能通过w的后代顶点个一条回退边到达u的祖先顶点。

low(u)等于从u出发，经过一条后代顶点路径和一条回退边，所能到达的具有最小深度优先编号的

low（u）=min(dfn(u)，min(low(w),w是u的儿子)，min(dfn(w)|(u,w)是一条回退边))。

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一、定义及应用

　　在某图中，若删除顶点Ｖ以及Ｖ相关的边后，图的一个连通分量分割为两个或两个以上的连通分量，则称顶点V为该图的一个关节点。一个没有关节点的连通图称为重连通图。

　　在重连通图中，任意一对顶点之间至少存在两条路径，则再删去某个顶点即相关各边后也不破坏图的连通性。若在图的连通图上删去ｋ个节点才能破坏图的连通性，则称Ｋ为此图的连通度。

　　他们常常在通信网络的图或航空网中应用，K越大，系统越稳定，反之，战争中若要摧毁敌方的运输线，只须破坏其运输网中的关节点即可。

　　二、求解算法

　　利用深度优先搜索便可以求的图的关节点，本由此可判别图是否重连通。

　　从任一点出发深度优先遍历得到优先生成树，对书中任一顶点Ｖ而言，其孩子节点为邻接点。由深度优先生成树可得出两类关节点的特性：

　　（１）若生成树的更有两棵或两棵以上的子树，则此根顶点必为关节点。因为图中不存在连接不同子树顶点的边，若删除此节点，则树便成为森林。

　　（２）若生成树中某个非叶子顶点V，其某棵子树的根和子树中的其他节点均没有指向V的祖先的回边，则V为关节点。

　　求关节点—对图进行一次先深搜索边可求出所有的关节点

　　由先深生成树可得出两类关节点的特性： 

　　1.若生成树的根有两株或两株以上子树，则此根结点必为关节（第一类关节点）。因为图中不存在连接不同子树中顶点的边，因此，若删去根顶点，生成树变成生成森林。

　　2.若生成树中非叶顶点v，其某株子树的根和子树中的其它结点均没有指向v 的祖先的回退边，则v 是关节点（第二类关节点）。 因为删去v，则其子树和图的其它部分被分割开来 

　　定义 

　　low[v] 设对连通图G＝（V,E）进行先深搜索的先深编号为dnf[v]，产生的先深生成树为S＝（V,T），B试回退边之集。对每个顶点v，low[v]定义如下 

　　算法5.5 求无向图的双连通分量 

　　输入：连通的无向图G=( V, E )。L[v]表示关于v的邻接表

　　输出：G的所有双连通分量，每个连通分量由一序列的边组成。 

　　算法要点： 

　　1.计算先深编号：对图进行先深搜索，计算每个结点v的先深编号dnf[v]，形成先深生成树S＝（V,T）。

　　2.计算low[v]：在先深生成树上按后根顺序进行计算每个顶点v的 low[v]， low[v]取下述三个结点中的最小者： 

　　(1) dfn[v]；

　　(2) dfn[w]，凡是有回退边（v,w）的任何结点w；

　　(3) low[y]，对v的任何儿子y。 

　　3.求关节点： 

　　(1)树根是关节点，当且仅当它有两个或两个以上的儿子（第一类关节点）；

　　(2)非树根结点v是关节点当且仅当v有某个儿子y，使low[y]≥dnf[v]（第二类关节点）。