CodeForces-528C Data Center Drama

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题意

给出一个无向图(连通，可能有重边和自环)，要求加尽量少的边，并给每条边定向，使每个结点的入度和出度都是偶数。

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思路

对于度数为奇数的结点，加边依次连接，例如结点$1,2,3,4$的度数为奇数，则连接$(1,2)$，$(3, 4)$，使所有结点度数都为偶数，则为欧拉图。

如果此时边数为奇数，则对任一结点加个自环，这样可以构造出偶数长度的欧拉回路。沿着欧拉回路每隔一条边反向一次，可令结点每一条入边和出边变成两条入边或两条出边，就满足了题目要求的每个结点的入度和出度都是偶数。

时间复杂度$O(E)$。

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代码实现

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N = 100010, M = 500010;
struct Edge
{
    int to, nex;
} edge[M];
int cnt_e, tot;
int head[N], deg[N], ans[M];
bool vis[M];
void add_edge(int u, int v) {
    edge[++cnt_e].to = v;
    edge[cnt_e].nex = head[u];
    head[u] = cnt_e;
}
void init() {
    cnt_e = 1;
    memset(head, 0, sizeof(head));
    memset(deg, 0, sizeof(deg));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
}
void dfs(int u) {  // 求欧拉回路方案，存在ans中
    for (int i = head[u]; i; i = head[u]) {
        head[u] = edge[i].nex;
        if (!vis[i|1]) {
            vis[i|1] = true;
            int v = edge[i].to;
            dfs(v);
        }
    }
    ans[tot++] = u; // 要后序回溯时记录路径，不能前序记录
}

int main() {
    int n, m;
    while (~scanf("%d %d", &n, &m)) {
        init();
        int ans1 = m;
        for (int i = 0, u, v; i < m; i++) {
            scanf("%d %d", &u, &v);
            add_edge(u, v);
            add_edge(v, u);
            deg[u]++, deg[v]++;
        }
        int pre;
        tot = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (deg[i] & 1) {
                if (tot & 1) {
                    add_edge(pre, i);
                    add_edge(i, pre);
                    ans1++;
                }
                else pre = i;
                tot++;
            }
        }
        if (ans1 & 1) {
            ans1++;
            add_edge(1, 1);
        }
        printf("%d\n", ans1);
        tot = 0;
        dfs(1);
        for (int i = 0; i < tot - 1; i++) {
            if (i & 1) printf("%d %d\n", ans[i], ans[i+1]);
            else printf("%d %d\n", ans[i+1], ans[i]);
        }
        if (!(tot & 1)) puts("1 1");
    }
    return 0;
}