估值大法

适用于高考数学比大小。

基本上三位小数的精度都是很充分的，如果真的不够的话那这道题的正解也必然是极其困难的，因为中间值很难找。

记忆从 \(2\) 开始除 \(5\) 以外的质数的 \(\lg\) 如下：

\(\lg2\approx0.301,\lg3\approx0.477,\lg7\approx0.845,\lg11\approx1.041,\lg13\approx1.114,\lg17\approx1.230,\lg19\approx1.279,\lg23\approx1.362,\lg29\approx1.462,\lg31\approx1.491\)

看似有些多，其实只按小数点后三位连着记就很简单：\(301/477/845/041/114/230/279/362/462/491\)，如果实在想偷懒可以只记到 \(17\)，但是这样会导致灵活性降低。

\(\ln\) 和 \(\lg\) 这两个都是非常常用的，所以还要再记 \(\lg e\approx0.434\)，虽然除法略微带来了一些计算量，但还是能够较快地转化出 \(\ln\)，毕竟一般也就用一两次差不多了。

为什么不记 \(\ln\)，因为底数是熟悉的数感觉更好，其实没什么理由，唯一的优点是不用记 \(5\) 而可以用 \(2\) 减。

这时你发现需要补充特殊数值：\(\lg\pi\approx0.497\)，贴个完整的对数记忆模板：\(301/434/477/497/845/041/114/230/279/362/462/491\)

至此，成功安装人体对数计算器！

然后是根号，这个不怎么常用，但确实不好算，二分太慢了。

\(\sqrt2\approx1.414,\sqrt3\approx1.732,\sqrt5\approx2.236,\sqrt7\approx2.646,\sqrt{11}\approx3.317,\sqrt{13}\approx3.606,\sqrt{17}\approx4.123\)

当然还有特殊的 \(e\) 和 \(\pi\)：\(\sqrt e\approx1.649,\sqrt\pi\approx1.772\)

完整根号记忆模板：\(414/649/732/772/236/646/317/606/123\)

虽然次方比较好算，但是一些很常用的或特殊的还是可以记一记：\(e^2\approx7.389,e^3\approx20.086,\pi^2\approx9.870,\pi^3\approx31.006\)

EX.备选方案：泰勒展开，这个就稍微要动点脑子了，得将数据用一些方式转化到 \(0\) 附近以保证精度。

我会倾向于将泰勒优先级置于跳题之后，即若被迫使用泰勒，则在后面 \(18,19\) 卡住或者有多余时间再回头计算，若时间不够则发挥直觉蒙一个。注意这一处理手段时不要提前将蒙的答案填写在答题卡上，否则很容易忘记。

基本就这样了，以后见到什么有趣的东西再加吧，我觉得已经基本覆盖所有能处理的考察情况了。

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Practice

在基础的记忆性内容之上肯定还需要合理的、与常规方法相结合的运用。以一例演示之。

【2022 新高考 I 卷】：设 \(a=0.1e^{0.1},b=\frac{1}{9},c=-\ln0.9\)，比较 \(a,b,c\) 的大小。

先寻找易比较的部分，发现 \(c=\ln\frac{10}{9}<\frac{10}{9}-1=\frac{1}{9}=b\)，虽然 \(c\) 的值我们可以直接计算出来去和 \(b\) 比，但是在能用如此基础的不等式解决的情况下使用估值肯定是浪费时间了。

然后转向 \(a\)，直接使用 \(e^x>x+1\) 会发现放过头，因此考虑估值。将烦人的 \(0.1\) 扔过去，即 \(e^{0.1}\) 和 \(\frac{10}{9}\) 比较，那就可以直接取对开始计算了，即 \(\ln\frac{10}{9}=\frac{1-2\lg3}{\lg e}\approx\frac{0.046}{0.434}\approx0.106>0.1\)，故 \(b>a\)

是的，这就是三元比大小中运气不好的情况，即第二次比较为无效比较，唯一的作用是明确应该比较 \(a\) 和 \(c\)。

一般来讲都是通过取指数或对数调整至一边是对数，另一边是常数，而这里既有指数又有对数，也不必惊慌，对数在我们眼里应该跟常数是一个东西，所以我们其实是可以任意调整的。直接计算 \(c\)，发现刚好就是前面算过的 \(\ln\frac{10}{9}\)，即 \(c\approx0.106\)，那么直接使用 \(e^x>x+1\) 放就不会放过了。注意这并不是这道题的特殊性，就算此处无法使用其它方法，直接将 \(0.1\) 移过来取对，\(0.1\) 和 \(\ln1.06\) 也是有操作空间的。直接计算的话会出现 \(53\) 这个无法计算的大质数，那就调整一下计算 \(\ln1.05\) 或 \(\ln1.08\)，这两个都很好计算，最好是检验一下放缩方向是否一致，不然有放过风险，要是放过的话就再调，总会有能分解的，虽然这样的话复杂度可能就超过常规做法了。这里是比较宽松的，没有这个问题。

由此也可以看出，记忆略大一些的质数的对数值的用处还是比较大的，这可以极大拓宽估值法的适用范围，而不像一般认为的那样只有题目本身给出大质数对数才需要用到。