背包问题特殊问法

失败不是什么丢人的事情，从失败中全无收获才是。

这里只讲述两种特殊问法，一种是求具体方案(转移路径)，另一种是求最优方案数量。

在讲述之前先要明白两种dp数组初始化的方式，dp数组初始化只与对它的定义有关。总的来说有两种定义方式。方式一：dp[i][j]代表前i个物品体积不超过j的最大价值，那么这时候dp数组要全部初始化为0，因为此时所有方案都符合体积不超过j(min0 && max inf)，所以所有方案的最大价值此时应该都是0.方式二：dp[i][j]代表前i个物品体积恰好等于j的最大价值，那么此时除了dp[0][0] = 0，其他dp[i][j] = -inf，原因也很简单，此时前0个物品体积恰好等于0的最大价值就是0，而其他方案此时都没有解，或者说都没有意义，所以都设为负无穷。

求具体方案：

dp可以理解为从一个拓扑图上求最短或者最长路径(根据具体含义而定)。那么dp[n][m]也就是终点，我们求具体方案希望是从最后一步一步往前推。那么我们可以分析一共会有2条边连到终点，那么也就是3种情况：一种是第i个物品没选->dp[i - 1][j]，一种是第i个物品选了->dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]，还有一种就是第i个物品选没选都可以。那么我们就一步一步往前推就好了，如果i物品选了我们就输出，否则就不用管它：

for (i : 1 -> n)

　　if (v[i] <= m && dp[i][m] == dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]]

　　　　物品i选了

　　　　m -= v[i]

有时候题目还会要求用字典序最小输出，这时候有个小trick，可以背物品的时候从n到1反向循环，因为我们求方案是从后往前推，我们肯定希望答案序列越往前的数越小越好，那么如果我们反向推就能达到此目的，并且如果遇到情况1和情况3我们都要输出，因为这时候越先遍历到的的数越小，就要输出。下面是01背包求字典序最小路径的代码，其他的背包同理只不过转移方程需要自己思考

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define gogo ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);

const string YES = "YES";
const string NO = "NO";

const int N = 1010;
int dp[N][N], v[N], w[N];

int32_t main() {
    gogo;
    
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= n;i ++)
        cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = n;i >= 1;i --)
        for (int j = 0;j <= m;j ++) {
            dp[i][j] = dp[i + 1][j];
            if (j >= v[i])
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    int j = m;
    for (int i = 1;i <= n;i ++)
        if (v[i] <= j && dp[i][j] == dp[i + 1][j - v[i]] + w[i]) {
            cout << i << ' ';
            j -= v[i];
        }
    return 0;
}

 

求最优方案数量：

这时候我们需要新开一个数组g[i][j]来记录到达恰好到达dp[i][j]的路径数量，这时候dp[i][j]最好定义为恰好，所以初始化成-inf。那么这时候到达一个点也是有3种情况：一种是第i个物品没选->dp[i - 1][j]，相应的g[i][j] += g[i - 1][j]，一种是第i个物品选了->dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]，g[i][j] += g[i - 1][j - v[i]]，还有一种就是第i个物品选没选都可以，g[i][j] += g[i - 1][j] + g[i - 1][j - v[i]]，因为两条路都可以到达方案数自然就要相加。这时候就能解释为什么dp和g要定义为恰好了，因为如果不是恰好的话路径数一定会被重复计算，那么还需要容斥一下，恰好就不需要算。最后算答案的时候只需要检验每个点的dp值是否与最优解相同，如果相同ans += g[i][j]即可，不过这时候要注意，正因为dp定义的是恰好，那么dp[n][m]就不一定是最优值，需要循环一遍求出最优值才行。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define gogo ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);

const string YES = "YES";
const string NO = "NO";

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int dp[N], g[N], v[N], w[N];

int32_t main() {
    gogo;
    
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= n;i ++)
        cin >> v[i] >> w[i];
    memset(dp, 0x8f, sizeof dp);
    dp[0] = 0;
    g[0] = 1;
    for (int i = 1;i <= n;i ++)
        for (int j = m;j >= v[i];j --) {
            int mx = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
            int cnt = 0;
            if (mx == dp[j])
                cnt = (cnt + g[j]) % mod;
            if (mx == dp[j - v[i]] + w[i])
                cnt = (cnt + g[j - v[i]]) % mod;
            dp[j] = mx;
            g[j] = cnt % mod;
        } 

    int mn = 0;
    for (int j = 0;j <= m;j ++) 
        if (dp[j] > dp[mn])
            mn = j;
    int res = 0;
    for (int j = 0;j <= m;j ++)
        if (dp[j] == dp[mn])
            res = (res + g[j]) % mod;
    cout << res << '\n';

    return 0;
}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路来源于背包9讲