P7619 [COCI2011-2012#2] RASPORED 题解
我们首先考虑没有修改的情况。
首先，我们假设已经给所有的居民分配好了一个烘焙披萨的方案，并用 \(pos_i\) 代表第 \(i\) 位居民的披萨是第 \(pos_i\) 个烘焙的。
这样的话，我们设 \(C_i\) 为从第 \(i\) 名居民身上获取的小费数额（如果为负数则表示需要向该位居民支付的数额的相反数），那么就会有如下的式子：
那么对于 Mirko 收获小费的总和 \(\sum_{i=1}^n C_i\)，我们可以推一下式子：
最后一步是这样推出来的：
对于 \(T_i\) 来说，它会在计算所有 \(pos_j \geq pos_i\) 的 \(j\) 的时候被计算到，所以总共就是 \(\sum_{j=pos_i}^n T_i\)，即 \(T_i \times (n-pos_i + 1)\)。
然后看带修改的。
我们看刚才推出来的式子，可以看出我们能够对于 \(L\) 与 \(T\) 分开考虑，而事实上我们也就是这样做的。
我们对于一开始没有被修改时的数据计算出一个 \(suml = \sum_{i=1}^n L_i\)，然后再计算出一个 \(sumt = \sum_{i=1}^n T_i \times (n- pos_i + 1)\)。
我们最终输出的数值就是 \(suml-sumt\)。
假设我们有了一个新的修改，将 \((L_x,T_x)\) 修改为 \((L_y,T_y)\)。
对于 \(suml\)，其只需要变为 \(suml-L_x+L_y\) 即可。
对于 \(sumt\)，我们可以看成首先从数列里面删除了一个 \(T_x\)，然后再插入了一个 \(T_y\)；其中 \(T_x\) 删除前的位置是 \(pos_x\)，\(T_y\) 删除后的位置是 \(pos_y\)。
我们可以将删除和插入分开讨论，也可以只讨论改变位置的元素。
如果分开讨论删除和插入的话，我们的分析过程是这个样子的：
- 对于 \(\forall T_i < T_x\)，我们的 \(pos_i\) 不会变，但是 \(n\) 会因删除而减小 \(1\)；而对于 \(\forall T_i \geq T_x\)，我们的 \(pos_i\) 和 \(n\) 都会减小 \(1\) 而最终抵消；对于 \(T_x\)，我们需要减去它的贡献。
所以我们的 \(sumt\) 在删除 \(T_x\) 之后会变成这个样子：
- 对于 \(\forall T_i < T_x\)，我们的 \(pos_i\) 不会变，但是 \(n\) 会因插入而增大 \(1\)；而对于 \(\forall T_i \geq T_x\)，我们的 \(pos_i\) 和 \(n\) 都会增大 \(1\) 而最终抵消；对于 \(T_y\)，我们需要加上它的贡献。
所以我们的 \(sumt\) 在插入 \(T_y\) 之后会变成这个样子：
如果只讨论改变位置的元素的话，我们的分析过程是这个样子的：
-
如果 \(T_x < T_y\)，那么对于 \(\{T_i | pos_i \in (pos_x,pos_y)\}\)，其 \(pos_i\) 会减少 \(1\)，从而导致 \(sumt\) 减少 \(\sum_{pos_i \in (pos_x,pos_y)} T_i\)。
-
如果 \(T_x > T_y\)，那么对于 \(\{T_i | pos_i \in (pos_y,pos_x)\}\)，其 \(pos_i\) 会增加 \(1\)，从而导致 \(sumt\) 增加 \(\sum_{pos_i \in (pos_x,pos_y)} T_i\)。
总的来看，我们的变化量可以看做 \(\sum_{T_i < T_x} T_i - \sum_{T_i < T_x} T_i\)。
再加上 \(T_y\) 的贡献，减去\(T_x\) 的贡献，我们推出的式子跟上面的是一样的。
于是我们就需要一种数据结构，支持
- 插入和删除元素
- 查询小于一个元素的数字个数
- 查询小于一个元素的数字之和
树状数组、权值线段树和平衡树均可。
我这里使用的是替罪羊树。
对于不知道替罪羊树的人，我在这里安利一下我的博客，同时也给出OI-Wiki关于替罪羊树的讲解。
替罪羊树虽然比较慢，但是所有的操作时间复杂度均摊之后都是 \(O(\log n )\) 级别的。
这里粘一下代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 200010;
ll n, m;
double alpha = 0.75;
struct Scapegoat
{
int ls, rs;
ll w, wn;
int s, sz, sd;
ll sum;
}tr[N];
int cnt, rt;
void calc(int p)
{
tr[p].s = tr[tr[p].ls].s + tr[tr[p].rs].s + 1;
tr[p].sz = tr[tr[p].ls].sz + tr[tr[p].rs].sz + tr[p].wn;
tr[p].sd = tr[tr[p].ls].sd + tr[tr[p].rs].sd + (tr[p].wn != 0);
tr[p].sum = tr[tr[p].ls].sum + tr[tr[p].rs].sum + tr[p].wn * tr[p].w;
}
bool canrbu(int p)
{
return tr[p].wn && (alpha * tr[p].s <= ( double )max(tr[tr[p].ls].s, tr[tr[p].rs].s) ||
( double )tr[p].sd <= alpha * tr[p].s);
}//can rebuild
int ldr[N];
void rbuunf(int &ldc, int p)
{
if(!p)return;
rbuunf(ldc, tr[p].ls);
if(tr[p].wn)ldr[ldc++] = p;
rbuunf(ldc, tr[p].rs);
}//rebuild-unfold
int rbubld(int l, int r)
{
if(l >= r)return 0;
int mid = (l + r) >> 1;
tr[ldr[mid]].ls = rbubld(l, mid);
tr[ldr[mid]].rs = rbubld(mid + 1, r);
calc(ldr[mid]);
return ldr[mid];
}//rebuild-build
void rbuild(int &p)
{
int ldc = 0;
rbuunf(ldc, p);
p = rbubld(0, ldc);
}//rebuild
void insert(int &p, ll k)
{
if(!p)
{
p = ++cnt;
if(!rt)rt = 1;
tr[p].w = k;
tr[p].ls = tr[p].rs = 0;
tr[p].wn = tr[p].s = tr[p].sz = tr[p].sd = 1;
tr[p].sum = k;
}
else
{
if(tr[p].w == k)tr[p].wn++;
else if(tr[p].w < k)insert(tr[p].rs, k);
else insert(tr[p].ls, k);
calc(p);
if(canrbu(p))rbuild(p);
}
}
void loschn(int &p, ll k)
{
if(!p)return;
if(tr[p].w == k)
{
if(tr[p].wn)tr[p].wn--;
}
else
{
if(tr[p].w < k)loschn(tr[p].rs, k);
else loschn(tr[p].ls, k);
}
calc(p);
if(canrbu(p))rbuild(p);
}//löschen，delete是关键字就不用了
ll uprgtr(int p, ll k)
{
if(!p)
return 0;
else if(tr[p].w == k && tr[p].wn)
return tr[tr[p].ls].sz;
else if(tr[p].w < k)
return tr[tr[p].ls].sz + tr[p].wn + uprgtr(tr[p].rs, k);
else
return uprgtr(tr[p].ls, k);
}//相当于是使用greater<>函数排序之后的upper_bound
//输出的结果是小于某个元素的数的个数
ll uprsum(int p, ll k)
{
if(!p)
return 0;
else if(tr[p].w == k && tr[p].wn)
return tr[tr[p].ls].sum;
else if(tr[p].w < k)
return tr[tr[p].ls].sum + tr[p].wn * tr[p].w + uprsum(tr[p].rs, k);
else
return uprsum(tr[p].ls, k);
}//跟上面差不多，输出的是小于某个元素的数之和
ll suml, sumt;
ll l[N], t[N];
int main()
{
scanf("%lld%lld", &n, &m);
int temp[N];
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%lld%lld", &l[i], &t[i]);
suml += l[i];
insert(rt, t[i]);
temp[i] = t[i];
}
sort(temp + 1, temp + 1 + n);
for(int i = 1; i <= n; i++)
sumt += (n - i + 1) * temp[i];
printf("%lld\n", suml - sumt);
while(m--)
{
int a;
ll b, c;
scanf("%d%lld%lld", &a, &b, &c);
suml -= l[a] - b;
l[a] = b;
ll sum1 = uprsum(rt, t[a]), cnt1 = uprgtr(rt, t[a]);
loschn(rt, t[a]);
insert(rt, c);
ll sum2 = uprsum(rt, c), cnt2 = uprgtr(rt, c);
sumt += c * (n - cnt2) + sum2 - t[a] * (n - cnt1) - sum1;
t[a] = c;
printf("%lld\n", suml - sumt);
}
return 0;
}
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