P3644 [APIO2015] 八邻旁之桥 题解
题目大意：
现在有一条河，将巴邻旁市分成了 \(A\)、\(B\) 两个区域。
河的两岸均有 \(10^9+1\) 栋房子。每一栋房子均有其编号，从 \(A_1,B_1\) 一直到 \(A_{10^9+1},B_{10^9+1}\)。其中，编号为 \(A_i\) 的房子与编号与 \(B_i\) 的房子正好隔河相望。
相邻两栋房子之间的距离为 \(1\)。这包括类似 \(A_i,A_{i+1}\) 的情况，也包括 \(A_i,B_i\) 的情况。
现在有 \(n\) 条通勤线路，有一些是需要跨河才能到达的。
以前人们都坐船，但是现在政府决定建造 \(k\) 座大桥来帮助市民进行日常的通勤，使得所有人都可以（且必须）开车来通勤。
现在政府交给了你这 \(n\) 条通勤线路和桥梁的个数 \(k\)，要求你最小化所有人通勤所需要的时间之和。
所有的桥梁必须垂直于河流。
首先猛地一看可能没有什么太大的思路，总觉得是个贪心，或者是个结论题。
然后看一眼数据范围：
\(1 \leq K \leq 2\)
\(1 \leq N \leq 10^5\)
那就简单多了。
我们可以分类讨论：
\(K=1\)
首先我们需要忽略所有不跨河的人。
这个在输入的时候就直接统计入答案了。
当我们只有一座桥的时候，就意味着所有人都必须通过这座桥。
那么我们就可以将这些所有的路线拆成三部分：在A岸的、在桥上的和在B岸的。
而且因为桥是垂直于河流的，那么我们完全可以把在B岸的和在A岸的放在一起统计。
那么我们的问题就可以转化为，找一个点，使得所有的点到这个点的距离之和最小。
容易得出我们需要求的就是所有数字的中位数。
统计答案即可。
代码：
#define int long long
int t[N], tot, ans;
scanf("%lld%lld", &k, &n);
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%s%lld%s%lld", x, &u, y, &v);
if(x[0] == y[0]) ans += abs(u - v);
else
{
t[++tot] = u, t[++tot] = v;
ans++;
}
}
sort(t + 1, t + 1 + tot);
for(int i = 1; i <= tot; i++)
ans += abs(t[tot >> 1] - t[i]);
printf("%lld\n", ans);
\(K=2\)
我们考虑一下每一个路线的实际路程。
假设一个路线的端点的编号分别是 \(i\) 和 \(j\)（\(i \leq j\)），那么：
- 如果 \(i\)、\(j\) 分别在桥的两侧，其实际路程为 \(j-i\)。
- 如果 \(i\)、\(j\) 夹在两个桥的中间，其实际路程与 \(\frac{i+j}{2}\) 有关。
于是我们可以考虑按照 \(i+j\) 来对所有的通勤路线进行排序。同时枚举一个划分的位置，左边的都走左边的桥，右边的都走右边的桥。
那么我们需要求的就是动态中位数问题了。
我们仍然考虑使用一个大根堆和一个小根堆来维护动态中位数，只不过我们统计答案的时候换个思路。
我们可以统计前缀和，并且把这个前缀和按照桥的位置分成左右两部分。
此时的最小距离之和就是桥右侧点的坐标和减去左侧点的坐标和。
桥左边的部分枚举的是前缀和，右边的部分枚举的是后缀和。
然后我们取最小值即可。
代码：
struct need
{
int x, y;
bool operator < (const need &a) const
{
return (x + y) < (a.x + a.y);
}
}order[N];
priority_queue <int, vector<int> > q1;
priority_queue <int, vector<int>, greater<int> > q2;
int n, k, u, v, cnt;
int ans1[N], ans2[N];
int res, sum1, sum2;
void exchange()
{
if(q1.top() > q2.top())
{
int u = q1.top(), v = q2.top();
q1.pop(), q1.push(v);
q2.pop(), q2.push(u);
sum1 += v - u, sum2 -= v - u;
}
}
void clear()
{
while(!q1.empty()) q1.pop();
while(!q2.empty()) q2.pop();
sum1 = sum2 = 0;
u = v = 0;
}
void senhan()
{
clear();
for(int i = 1; i <= cnt; i++)
{
q1.push(order[i].x), q1.push(order[i].y);
sum1 += order[i].x + order[i].y, sum1 -= q1.top(), sum2 += q1.top();
q2.push(q1.top()); q1.pop();
exchange();
ans1[i] = sum2 - sum1;
}
}
void gohan()
{
clear();
for(int i = cnt; i >= 1; i--)
{
q1.push(order[i].x), q1.push(order[i].y);
sum1 += order[i].x + order[i].y, sum1 -= q1.top(), sum2 += q1.top();
q2.push(q1.top()); q1.pop();
exchange();
ans2[i] = sum2 - sum1;
}
}
sum1 = 0, sum2 = 0;
sort(order + 1, order + 1 + cnt);
senhan();
gohan();
res = 1e18;
for(int i = 0; i <= cnt; i++)
res = min(res, ans1[i] + ans2[i + 1]);
printf("%lld\n", ans + res);
全部加起来：
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 400010;
struct need
{
int x, y;
bool operator < (const need &a) const
{
return (x + y) < (a.x + a.y);
}
}order[N];
priority_queue <int, vector<int> > q1;
priority_queue <int, vector<int>, greater<int> > q2;
int n, k, ans, u, v, cnt;
int ans1[N], ans2[N];
char x[2], y[2];
int t[N], tot, res, sum1, sum2;
void exchange()
{
if(q1.top() > q2.top())
{
int u = q1.top(), v = q2.top();
q1.pop(), q1.push(v);
q2.pop(), q2.push(u);
sum1 += v - u, sum2 -= v - u;
}
}
void clear()
{
while(!q1.empty()) q1.pop();
while(!q2.empty()) q2.pop();
sum1 = sum2 = 0;
u = v = 0;
}
void senhan()
{
clear();
for(int i = 1; i <= cnt; i++)
{
q1.push(order[i].x), q1.push(order[i].y);
sum1 += order[i].x + order[i].y, sum1 -= q1.top(), sum2 += q1.top();
q2.push(q1.top()); q1.pop();
exchange();
ans1[i] = sum2 - sum1;
}
}
void gohan()
{
clear();
for(int i = cnt; i >= 1; i--)
{
q1.push(order[i].x), q1.push(order[i].y);
sum1 += order[i].x + order[i].y, sum1 -= q1.top(), sum2 += q1.top();
q2.push(q1.top()); q1.pop();
exchange();
ans2[i] = sum2 - sum1;
}
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld", &k, &n);
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%s%lld%s%lld", x, &u, y, &v);
if(x[0] == y[0]) ans += abs(u - v);
else
{
order[++cnt] = { u, v };
t[++tot] = u, t[++tot] = v;
ans++;
}
}
if(k == 1)
{
sort(t + 1, t + 1 + tot);
for(int i = 1; i <= tot; i++)
ans += abs(t[tot >> 1] - t[i]);
printf("%lld\n", ans);
}
else if(k == 2)
{
sum1 = 0, sum2 = 0;
sort(order + 1, order + 1 + cnt);
senhan();
gohan();
res = 1e18;
for(int i = 0; i <= cnt; i++)
res = min(res, ans1[i] + ans2[i + 1]);
printf("%lld\n", ans + res);
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号