L2980. 「THUSCH 2017」 大魔法师 题解
首先看题：
题目要求我们在 \(\[ 1,n \]\) 的区间上维护三个值 \(A_i,B_i,C_i\)，要求支持查询区间和和下面六中操作：
- 区间内 \(A_i = A_i + B_i\)；
- 区间内 \(B_i = B_i + C_i\)；
- 区间内 \(C_i = C_i + A_i\)；
- 区间内 \(A_i = A_i + k\)（\(k\) 给定）；
- 区间内 \(B_i = B_i \times k\)（\(k\) 给定）；
- 区间内 \(C_i = k\)（\(k\) 给定）。
显然这道题需要使用线段树来维护区间操作。
但是我们不能给每一个操作附上一个懒标记，最后懒标记下放的时候还不得麻烦死。
我们可以尝试一下转化一下我们的操作。
众所周知，一个矩阵乘以一个单位矩阵 \(I\) 还等于它本身。
单位矩阵的形状是这样的：\(\begin{bmatrix}1 & & &\\\\ & 1 & & \\\\ & & \ddots & \\\\ & & & 1 \end{bmatrix}\)
如果我们将 \(A_i,B_i,C_i\) 三个数值化作一个矩阵的话，那么这个矩阵 \(\begin{bmatrix} A_i & B_i & C_i \end{bmatrix}\) 所对应的单位矩阵是这个样子的：\(\begin{bmatrix}1&&\\\\&1&\\\\&&1\end{bmatrix}\)。
而 \(\begin{bmatrix} A_i & B_i & C_i \end{bmatrix}\) 想要变成 \(\begin{bmatrix} A_i+B_i & B_i & C_i \end{bmatrix}\) 的话可以让它乘以一个 \(\begin{bmatrix}1&&\\\\1&1&\\\\&&1\end{bmatrix}\)。\((2,1)\) 处多出来的那个1就代表着给结果行矩阵的第1个位置加上1个原先的行矩阵矩阵第2个位置的值，也就相当于是给结果的 \(A_i\) 加上了一个 \(B_i\)。
同理，第二个操作乘以的是一个 \(\begin{bmatrix}1&&\\\\&1&\\\\&1&1\end{bmatrix}\)，第三个操作乘以的是一个 \(\begin{bmatrix}1&&1\\\\&1&\\\\&&1\end{bmatrix}\)。
然后就是可恶的第四个操作。我们需要给 \(A_i\) 加上一个 \(k\)，但是我们无法从刚才的房费里面推出来一个类似的方法。
于是我们可以考虑将我们维护的矩阵由 \(\begin{bmatrix} A_i & B_i & C_i \end{bmatrix}\) 变为 \(\begin{bmatrix} A_i & B_i & C_i & 1 \end{bmatrix}\)。
这样我们就只需要乘以一个 \(\begin{bmatrix}1&&&\\\\&1&&\\\\&&1&\\\\k&&&1\end{bmatrix}\) 即可。
为了适配我们新的需要维护的矩阵，前面三个就变成了 \(\begin{bmatrix}1&&&\\\\1&1&&\\\\&&1&\\\\&&&1\end{bmatrix}\)，\(\begin{bmatrix}1&&&\\\\&1&&\\\\&1&1&\\\\&&&1\end{bmatrix}\) 和 \(\begin{bmatrix}1&&1&\\\\&1&&\\\\&&1&\\\\&&&1\end{bmatrix}\)。
第五个操作的思路也很简单，只需要乘以一个 \(\begin{bmatrix}1&&&\\\\&k&&\\\\&&1&\\\\&&&1\end{bmatrix}\) 即可。
第六个操作有点难，我们可以先把 \(C_i\) 变成0，通过乘以一个 \(\begin{bmatrix}1&&&\\\\&1&&\\\\&&&\\\\&&&1\end{bmatrix}\)，然后再乘以一个 \(\begin{bmatrix}1&&&\\\\&1&&\\\\&&1&\\\\&&k&1\end{bmatrix}\)，就可以给 \(C_i\) 赋成 \(k\) 了。
最终效果跟直接乘以 \(\begin{bmatrix}1&&&\\\\&1&&\\\\&&&\\\\&&k&1\end{bmatrix}\) 效果一样。
于是我们的线段树只需要维护一个区间乘和区间求和即可。
矩阵结构体：
struct Matrix
{
int n, m;
ll a[5][5];
Matrix() {}
Matrix(int _n, int _m) :n(_n), m(_m)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
}
Matrix operator + (const Matrix &rhs)
{
Matrix res(n, m);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
res.a[i][j] = (a[i][j] + rhs.a[i][j]) % p;
return res;
}
Matrix operator * (const Matrix &rhs)
{
Matrix res(n, rhs.m);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= rhs.m; j++)
for(int k = 1; k <= m; k++)
res.a[i][j] = (res.a[i][j] + a[i][k] * rhs.a[k][j]) % p;
return res;
}
};
总代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 250010;
const ll p = 998244353;
struct Matrix
{
int n, m;
ll a[5][5];
Matrix() {}
Matrix(int _n, int _m) :n(_n), m(_m)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
}
Matrix operator + (const Matrix &rhs)
{
Matrix res(n, m);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
res.a[i][j] = (a[i][j] + rhs.a[i][j]) % p;
return res;
}
Matrix operator * (const Matrix &rhs)
{
Matrix res(n, rhs.m);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= rhs.m; j++)
for(int k = 1; k <= m; k++)
res.a[i][j] = (res.a[i][j] + a[i][k] * rhs.a[k][j]) % p;
return res;
}
};
Matrix num[N];
struct SegTree
{
int l, r;
Matrix sum, tag;
}tr[N << 2];
Matrix base1, base2, base3, base4, base5, base6;
Matrix base;
void pushdown(int p)
{
auto &root = tr[p], &left = tr[p << 1], &rght = tr[p << 1 | 1];
left.sum = left.sum * root.tag;
rght.sum = rght.sum * root.tag;
left.tag = left.tag * root.tag;
rght.tag = rght.tag * root.tag;
root.tag = base;
return;
}
void build(int p, int l, int r)
{
tr[p].l = l, tr[p].r = r;
if(l == r)
{
tr[p].sum = num[l];
tr[p].tag = base;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(p << 1, l, mid);
build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
tr[p].sum = tr[p << 1].sum + tr[p << 1 | 1].sum;
tr[p].tag = base;
return;
}
void segadd(int p, int l, int r, Matrix k)
{
if(tr[p].l >= l && tr[p].r <= r)
{
tr[p].tag = tr[p].tag * k;
tr[p].sum = tr[p].sum * k;
return;
}
pushdown(p);
int mid = (tr[p].l + tr[p].r) >> 1;
if(l <= mid)segadd(p << 1, l, r, k);
if(r > mid)segadd(p << 1 | 1, l, r, k);
tr[p].sum = tr[p << 1].sum + tr[p << 1 | 1].sum;
return;
}
Matrix segsum(int p, int l, int r)
{
if(tr[p].l >= l && tr[p].r <= r)return tr[p].sum;
pushdown(p);
int mid = (tr[p].l + tr[p].r) >> 1;
Matrix res(4, 4);
if(l <= mid)res = res + segsum(p << 1, l, r);
if(r > mid)res = res + segsum(p << 1 | 1, l, r);
return res;
}
void init()
{
base = Matrix(4, 4);
for(int i = 1; i <= 4; i++)
base.a[i][i] = 1;
/*
base1:| base2:| base3:
1 0 0 | 1 0 0 | 1 0 1
1 1 0 | 0 1 0 | 0 1 0
0 0 1 | 0 1 1 | 0 0 1
*/
base1 = base;
base1.a[2][1] = 1;
base2 = base;
base2.a[3][2] = 1;
base3 = base;
base3.a[1][3] = 1;
/*
base4: | base5: | base6:
1 0 0 0 | 1 0 0 0 | 1 0 0 0
0 1 0 0 | 0 v 0 0 | 0 1 0 0
0 0 1 0 | 0 0 1 0 | 0 0 0 0
v 0 0 1 | 0 0 0 1 | 0 0 v 1
*/
base4 = base;
base5 = base;
base6 = base;
base6.a[3][3] = 0;
}
int main()
{
init();
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
num[i] = Matrix(1, 4);
scanf("%lld%lld%lld", &num[i].a[1][1], &num[i].a[1][2], &num[i].a[1][3]);
num[i].a[1][4] = 1;
}
build(1, 1, n);
int m;
scanf("%d", &m);
while(m--)
{
int op, l, r, v;
scanf("%d%d%d", &op, &l, &r);
if(op == 1)
{
segadd(1, l, r, base1);
}
else if(op == 2)
{
segadd(1, l, r, base2);
}
else if(op == 3)
{
segadd(1, l, r, base3);
}
else if(op == 4)
{
scanf("%d", &v);
base4.a[4][1] = v;
segadd(1, l, r, base4);
}
else if(op == 5)
{
scanf("%d", &v);
base5.a[2][2] = v;
segadd(1, l, r, base5);
}
else if(op == 6)
{
scanf("%d", &v);
base6.a[4][3] = v;
segadd(1, l, r, base6);
}
else if(op == 7)
{
Matrix res = segsum(1, l, r);
printf("%lld %lld %lld\n", res.a[1][1], res.a[1][2], res.a[1][3]);
}
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号