离散数学期中总结

命题逻辑

命题表达式

$p\bigvee q,p\bigwedge q,$
$p\rightarrow q=\neg{p}\bigvee q=\neg{q}\rightarrow\neg{p}$,
其真值表如下：
$p\leftrightarrow q=(p\rightarrow q)\bigwedge(q\rightarrow p)$
其真值表如下：
运算符优先级：$\neg>\bigwedge>\bigvee>\rightarrow>\leftrightarrow$

将自然语言翻译成命题表达式

一个例子：

命题表达式的真值表以及永真式、矛盾式与可能式

 

逻辑等价

常用的逻辑等价

命题逻辑公式的范式

• 包含所有命题变元或其否定一次仅一次的简单合取式($\land$)，称为极小项；
• 包含所有命题变元或其否定一次仅一次的简单析取式($\lor$)，称为极大项；
• 由有限个极小项组成的析取范式称为主析取范式(和式$\lor$)；
• 由有限个极大项组成的合取范式称为主合取范式(积式$\land$)。

命题逻辑的“自然演绎”规则

谓词逻辑及自然语言的翻译

注意:

例子:
1.

2.

注意:全称量词一般用蕴含$\rightarrow$,存在量词一般用合取$\land$(因为若条件为假,则语句为真,此时可能对)

证明方法

集合及其运算

1. 幂集:, 若$|A|=n$,则$|P(A)|=2^n$
2. 集合的运算:交,并,补,
   对称差:
   性质:
   
3. 自然数的定义:
4. 特殊例子:
5. 笛卡尔积:
6. 集合等式的证明:

关系及其运算

1. 特殊的关系:
2. 关系的运算:
   重点: 关系的复合:
3. 0-1矩阵运算(成员表):
4. 关系的性质:

• 自反性:注意自反(对$\forall a\in A$),反自反,非自反的关系
• : :前提不满足,则后续不用证明,结论为真
  
• 传递性:

5. 关系的运算与性质的保持:

函数及其运算

1. 定义:定义域,伴域,值域,像,原像
2. 定义:$B^A$
3. 并集,交集的关系:
4. 函数性质:
5. 反函数,函数的复合:
   满射证明:
   单射证明:

关系闭包和等价

1. 定义:
   包含关系R,满足性质P的最小关系
2. 自反闭包:

• 定义:
• 计算公式:

3. 对称闭包:

• 计算公式:

4. 传递闭包:

• 连通关系:
  $R^*$即为对存在通路的元素$a,b$ ($a\rightarrow t_1,t_1\rightarrow t_2,···,\rightarrow b$) ,搭桥:$a\rightarrow b$,因此满足传递性
• 计算公式:
• 有限集合上的传递闭包:

5. 定义证明闭包性质:
6. Warshall算法求传递闭包:

• 公式:
• 过程:
  1. 按对角线圈出第i行i列,
  2. 由该列中的1计算出除i行i列外的1

7. 等价关系:
8. 等价类:

• 定义:
• 代表元素:

9. 商集:
   对A的划分:
   例子:

偏序和偏序格

1. 偏序关系定义:
   例子:
2. 可比,全序,覆盖定义:
3. 偏序集和哈斯图:
   例子:
4. 偏序集中特殊元素及性质:上,下界需为共同交点元素
   图示:
   例子:
5. 格:

• 定义:任意两个元素均有上下确界,并重新定义了$\land,\lor$
• 例子:
• 对偶定理

集合的基数

1. 等势关系定义:

2. 可列集:
   特别的:可列个可列集的并集,笛卡尔积仍然是可列集合

3. 可数集:有限的或与自然数集等势的集合

4. 有限与无限集:

• 一个例子:
• 康托尔定理:

4. 集合的优势关系:
   性质:
   一个例子:
   等势关系R=对应的双射f,元素为集合
5. 集合的基数:
   一个例子:康托对角线法---
   另一个例子: 其中${0,1}^N$表示N中元素是否存在的所有可能的集合,即可代表N的幂集

数论初步

1. 模的基本性质:
2. 最大公约数:

• 定义:
• 性质:
• 第一条性质(贝祖定理)的证明:

3. 算术基本定理:
4. 欧拉函数与欧拉定理:

• 欧拉函数:
• 欧拉定理与费马小定理:
  

归纳与递归

1. 数学归纳法:
   良序公理:正整数集合的非空子集都有一个最小元素
2. 强数学归纳法:
   良序公理证明:
3. 递归定义:
4. 结构归纳法:

计数

1. 容斥原理:
2. 错位排序:
3. 鸽笼原理:
   一般的:
   特殊例子:
4. 排列组合:隔板法,特殊值法,全排和选择
5. 二项式定理:赋值法,展开法,

离散概率

1. 基于集合论的定义:
2. 条件概率:
3. 贝叶斯定理:
   例子:
4. 事件独立性:
5. 随机变量:
   例子:
6. 期望:
   例子:
   条件期望:
   期望的线性性:
   例子:
   独立随机变量的期望:
7. 方差:
   另一个计算公式:$V(X)=E(X^2)-E(X)2$
   例子:
   性质:
   PS:各种期望计算公式:
   二项分布:X~B(n,p),X可能发生,可能不发生,发生的概率为p,则$E(X)=np,D(X)=np(1-p)$;
   几何分布:在$n$次实验中,前$k-1$次均失败,第$k$次成功的概率,其中每次成功的概率为$p$,则该概率为$p_k=(1-p)^{{k-1}p$,期望为$E(x)=\frac{1}{p}$,方差为$D(x)=\frac{1-p}{p}2}$;
   超几何分布:考虑$N=N_1+N_2$个外表相同的物品，其中有$N_1$个同类物品与另一类的$N_2$个物品(次品)；抽取$n$个物品，每个物品的抽取等概率随机。
   则抽取到x个$N_1$物品的概率为:$P(X)=\frac{C^{,x}_{N_1}*C_{N_1}}{C^{,n}_N}$,期望为$E(X)=n\frac{N_1}{N}$,方差为:$D(X)=n\frac{N_1}{N}\frac{N_2}{N}*\frac{N-n}{N-1}$;