算法第五章作业

1. "最小重量机器设计问题"分析
   1.1 解空间
   问题理解
   从代码分析，这是一个最小重量机器设计问题：
   有 n 个部件（1...n）
   有 m 个供应商（1...m）
   对于部件 i，供应商 j提供：
   成本：c[i][j]
   重量：w[i][j]
   总成本限制：d
   目标：选择每个部件的供应商，使得：
2. 总成本 ≤ d
3. 总重量最小
   解空间形式化
   解空间：所有可能的供应商选择组合
   每个部件有 m种供应商选择，所以：
   解空间大小：mⁿ
   每个解是一个长度为 n 的向量 (x₁, x₂, ..., xₙ)
   其中 xᵢ ∈ {1, 2, ..., m} 表示部件 i 选择的供应商编号
   可行解：满足总成本约束 ∑c[i][xᵢ] ≤ d
   最优解：所有可行解中总重量 ∑w[i][xᵢ] 最小的解
   1.2 解空间树
   树的结构
   根节点：未选择任何部件
   深度：树深为 n（有 n 层）
   第 i 层节点：表示前 i 个部件的选择已确定
   叶子节点：深度为 n，表示一个完整选择方案
   分支因子
   每个非叶子节点有 m个子节点
   每个子节点对应一个供应商选择
   示例（n=3, m=2）
   根 (层0)
   /
   x₁=1 x₁=2 (层1)
   / \ /
   x₂=1 x₂=2 x₂=1 x₂=2 (层2)
   / \ / \ / \ /
   ... ... (层3，叶子)
   完全展开的节点数
   总节点数：1 + m + m² + ... + mⁿ = (m^(n+1)-1)/(m-1)
   当 m=2, n=3 时：1+2+4+8=15个节点
   叶子节点数：mⁿ 个
   1.3 遍历过程中的节点状态值
   每个节点的状态包含：
4. 当前深度 t：已考虑的前 t 个部件
5. 当前选择 x[1...t]：前 t 个部件的供应商选择
6. 累计成本 sc：∑_{i=1}^t c[i][x[i]]
7. 累计重量 sw：∑_{i=1}^t w[i][x[i]]
   状态传递
   向下扩展：从父节点到子节点时
   t 增加 1
   为新部件选择一个供应商
   sc 加上新成本
   sw 加上新重量
   向上回溯：从子节点返回父节点时
   t 减少 1
   sc 减去最后添加的成本
   sw 减去最后添加的重量
   剪枝条件
   代码中的剪枝条件：
   if(sc <= d && sw < Min) {
   Back(t+1);
   }
   可行性剪枝：sc ≤ d（总成本不超过预算）
   最优性剪枝：sw < Min（当前部分解重量已超过已知最优解）
   全局状态
   Min：当前找到的最小总重量（初始化为一个大数）
   minx[1...n]：当前最优解的选择方案
   x[1...n]：当前探索路径的选择方案
8. 对回溯算法的理解
   基本概念
   回溯算法是一种系统性的搜索算法，用于在问题的解空间中寻找所有满足约束条件的解。它通过深度优先搜索的方式遍历解空间树，并在搜索过程中使用剪枝函数来避免无效搜索。
   核心思想
   "试探-回溯"机制
9. 前进：逐步构建部分解，每次选择一个决策
10. 约束检查：检查当前部分解是否满足约束
11. 剪枝：如果不满足约束，放弃继续扩展
12. 回溯：返回上一层，尝试其他选择
    与DFS的关系
    相同点：都是深度优先遍历
    不同点：
    普通DFS：遍历所有节点
    回溯法：在遍历过程中进行剪枝
    回溯算法的三要素
13. 解空间
    问题的所有可能解构成的集合
    通常组织成树形结构（解空间树）
    树中的路径对应一个候选解
14. 约束条件
    显式约束：确定解空间，如 xᵢ ∈ {1, 2, ..., m}
    隐式约束：判定可行解的条件，如 ∑c[i][xᵢ] ≤ d
15. 限界函数（剪枝函数）
    用于判断当前部分解是否可能扩展为最优解
    在搜索过程中尽早排除不可能的分支
    是提高算法效率的关键