选点问题

1. 选点问题分析
   问题描述
   给定n个区间[lᵢ, rᵢ]，选择最少的点，使得每个区间至少包含一个点。
   我的贪心策略
   我采用按右端点排序的贪心策略：
   算法步骤：
2. 将所有区间按右端点从小到大排序
3. 初始化选择的点集为空，计数器count=0
4. 遍历排序后的区间：
   如果当前区间不包含任何已选择的点
   则选择当前区间的右端点作为新点
   计数器加1
5. 返回计数器count
   证明贪心选择性质
   定义
   设区间集S按右端点排序：r₁ ≤ r₂ ≤ ... ≤ rₙ
   设OPT是最优解的点集
   设ALG是按上述算法得到的点集
   证明：
   定理1（贪心选择性质）：存在一个最优解，其第一个点选择r₁。
   证明：
   设OPT是一个最优解，p₁是OPT中编号最小的点。
6. 如果p₁ = r₁，定理成立
7. 如果p₁ < r₁：
   由于r₁是第一个区间的最右端点，区间[l₁, r₁]必须包含一个点
   p₁在[l₁, r₁]中，且p₁ < r₁
   将p₁替换为r₁，所有包含p₁的区间仍然被覆盖
   得到的新解仍然是可行的，且点数不变
8. 如果p₁ > r₁：
   p₁不在区间[l₁, r₁]中，矛盾（因为OPT必须覆盖所有区间）
   因此，存在最优解以r₁为第一个点。
   定理2（最优子结构）：设S'是不被点r₁覆盖的剩余区间集合，则原问题的最优解包含子问题S'的最优解。
   证明：
   设原问题的最优解为OPT，包含点r₁。
   删除所有包含r₁的区间后，剩余区间集为S'。
   OPT中除r₁外的点构成S'的一个覆盖。
   由于OPT是最优的，这些点也是S'的最优覆盖。
   定理3（算法正确性）：通过数学归纳法
   基础：当n=1时，选择r₁显然最优
   归纳：假设对前k-1个区间算法最优
   对前k个区间，算法选择r₁，然后递归解决S'
   由定理1和2，这构成整体最优解
   时间复杂度分析
   设n为区间数量：
9. 排序阶段：O(n log n)
   使用快速排序或归并排序
10. 扫描阶段：O(n)
    只需遍历一次排序后的区间
11. 总时间复杂度：O(n log n)
    排序是主要开销
    空间复杂度：
    O(n)：存储区间数据
    O(1)：额外空间（不考虑输入存储）
12. 对贪心算法的理解
    基本概念
    贪心算法是一种局部最优导向全局最优的算法设计范式。它在每一步都做出在当前状态下看起来最好的选择，希望这样的局部最优选择能导致全局最优解。
    核心特征
13. 局部最优选择：每一步只考虑当前最优，不考虑长远影响
14. 无后效性：一旦做出选择，不再改变
15. 自顶向下：从初始问题出发，逐步做出选择
    贪心算法的三要素
16. 贪心选择性质
    定义：所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优选择达到。
    关键：可以通过贪心选择来构造最优解，且每一步的选择只依赖于之前的选择，不依赖于将来的选择。
    证明方法：
    交换论证：证明可以用贪心选择替换最优解中的选择
    归纳法：数学归纳证明
    拟阵理论：某些问题可形式化为拟阵贪心
17. 最优子结构
    定义：问题的最优解包含其子问题的最优解。
    意义：保证了贪心选择的递归正确性。一旦做出贪心选择，剩余问题与原问题具有相同结构。
18. 贪心策略
    定义：确定每一步如何选择的具体规则。
    常见策略：
    最短路径：Dijkstra算法（选择当前距离最小的点）
    最小生成树：Prim算法（选择连接树的最小边）
    区间问题：按端点排序
    哈夫曼编码：合并频率最小的节点