poj 3744 矩阵优化的概率DP

题意：

　　你在一条布满地雷的道路上，开始在坐标1。每次有概率P向前走一步，有概率1-P向前走两步。道中路某几个点上会有地雷，问你安全通过的概率。地雷数N<=10，坐标范围在100000000内。

 

假设dp[i]表示安全走到i点的概率，那么dp[i]=P*dp[i-1]+(1-P)*dp[i-2]。很简单的一个转移，可是偏偏坐标范围太大了。直接递推爆内存，而且肯定也会超时。

我们换一个思路，假设x[i]表示第i个地雷的坐标。对于任何两个地雷x[i]~~x[i-1]+1之间，只会有一个地雷，那就是x[i]。我们安全通过该段的概率等于1 减去猜到x[i]的概率。

也就是说，我们将n个地雷分成n段分别处理。每次都可以得到一个安全通过某一段的概率，最后将这些概率乘起来就是答案了。

可是万一两个地雷之间差的很远怎么办呢？内存和时间还不是一样的不允许？

于是我们用矩阵来优化一下。想想超大fibonacci数的矩阵求法，f[i]=f[i-1]+f[i-2]。f[n]等价于矩阵

| 1 1 |

| 1 0 |
的n次方以后，矩阵的第a[0,0]个元素。

 

同样的，我们为这个dp[i]=P*dp[i-1]+(1-P)*dp[i-2]构造一个矩阵

| P ,1-P |

| 1 , 0   |

那么dp[n]就是该矩阵N次方后的第a[0,0]个元素。

通过二分运算，飞快的就可以求出答案了

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct mat
{
    double a[2][2];
    mat()
    {
        int i,j;
        for(i=0;i<2;i++)
            for(j=0;j<2;j++)
                a[i][j]=0;
    }
};

mat e;
int n,x[11];
double p;

mat mul(mat a,mat b)
{
    int i,j,k;
    mat ans;
    for(i=0;i<2;i++)
        for(j=0;j<2;j++)
            for(k=0;k<2;k++)
                ans.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
    return ans;
}

void prit(mat a)
{
    int i,j;
    for(i=0;i<2;i++)
    {
        for(j=0;j<2;j++)
            printf("%0.2lf ",a.a[i][j]);
        cout<<endl;
    }
}

double matPow(mat a,int k)
{
    mat ans=e;
    while(k)
    {
        if(k&1)
        {
            ans=mul(ans,a);
        }
        a=mul(a,a);
        k=k>>1;
    }
    //prit(ans);
    return ans.a[0][0];
}

int main()
{
    int i;
    e.a[0][0]=1;e.a[1][0]=0;e.a[1][0]=0;e.a[1][1]=1;
    freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d%lf",&n,&p)==2)
    {
        x[0]=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&x[i]);
        n++;
        sort(x,x+n);
        mat res;
        double ans=1;
        res.a[0][0]=p;res.a[0][1]=1-p;res.a[1][0]=1;res.a[1][1]=0;
        for(i=1;i<n;i++)
        {
            ans*=(1.0-matPow(res,x[i]-x[i-1]-1));
        }
        printf("%0.7lf\n",ans);
    }
    return 0;
}