《Comparing Different Decodings for Posit Arithmetic》（一）

好的，下面按照你的指令用中文系统分析这篇论文《Comparing Different Decodings for Posit Arithmetic》：

1. 论文主要内容与研究方向

本论文关注Posit算术（Posit Arithmetic）中不同解码方式对硬件实现效率的影响。
研究方向是：

分析传统的“符号-幅值（Sign-Magnitude）”解码方式与一种较新的“两补（Two’s Complement）”解码方式；
比较这两种解码方式在Posit加法器、乘法器设计上的硬件资源占用、延迟、功耗和能量效率；
通过ASIC综合，定量评估每种解码策略对硬件实现性能的影响。

最终目标是探索更适合硬件优化的Posit解码与运算方法。

2. 研究方法介绍（包含截图）

研究方法主要包括：

提出两种解码方式：
- 符号-幅值（Sign-Magnitude）解码（传统方法，类浮点数处理）
- 两补（Two's Complement）解码（新方法，负数直接解码，无需取绝对值）
设计Posit加法器与乘法器，分别基于上述两种解码方式。
模块级别综合比较：分别对Decoder、Encoder、Adder、Multiplier模块进行独立综合，评估面积、功耗、延迟和能量。
完整算术单元综合比较：对整体加法器和乘法器进行综合，并与已有开源实现（PACoGen、Flo-Posit、MArTo）进行对比。

📷 截图（原文对应的部分）：

Posit解码方式介绍：
组件硬件性能比较（Decoder部分）：

3. 研究结果分析

主要对比结果总结：

Decoder模块：使用Two's Complement解码，面积下降约34%，功耗下降约55%，能量下降约73%。
Encoder模块：面积下降约33%，能量下降约50%。
加法器核心（Adder Core）：面积下降约9%，能量下降约16%。
乘法器核心（Multiplier Core）：面积稍有增加（面积+7%，功耗+7%），但延迟降低，能量下降。

完整算术单元对比（以32位Posit〈32,2〉为例）：

加法器：面积减少22.7%，功耗减少32.9%，延迟减少10.22%，能量减少39.77%。
乘法器：面积减少8.17%，功耗减少7.72%，延迟减少21.54%，能量减少27.6%。

被引用并对比的其他项目及开源地址：

PACoGen（传统解码）：PACoGen GitHub地址
Flo-Posit（传统解码）：Flo-Posit GitHub地址
MArTo（新式解码，PIF格式）：MArTo GitLab地址

4. 论文出处及期刊/会议等级

出处：收录于CoNGA 2022（Conference on Next Generation Arithmetic）会议论文集，Lecture Notes in Computer Science (LNCS)系列，卷号13253，Springer出版。
会议等级查询：
- CoNGA 不是CCF推荐会议。
- LNCS属于Springer B类会议论文集，整体水平中等偏上。
- 会议主题新颖，偏向交叉领域（算术电路、机器学习低精度运算硬件优化）。

5. 论文是否有开源代码

本论文本身没有直接给出开源工程地址。
但是文中提到的对比实现（如Flo-Posit和PACoGen）是开源的，地址见上节。

6. 相关原文出处标注

部分重要分析所对应的原文出处示例如下：

提出两种解码方式，见论文第2章：

"At the time of writing this paper, two main different ways of understanding how posit bit strings represent real values have been proposed..."
硬件对比实验，见论文第4章：

"To have a better understanding of how the different ways of decoding posit numbers impact on the hardware resource utilization..."
总结结论，见论文第5章：

"Synthesis evaluations show that posit units based on classical float-like decoding schemes require generally more hardware resources..."

好的，下面我将更深入、详细地从数学本质、硬件实现、优缺点、适用场景四个方面，全面分析这篇论文中提出的两种Posit解码方式：

🔵 1. 符号-幅值（Sign-Magnitude）解码

数学本质

传统的Posit解码与浮点数IEEE 754风格一致：

把Posit的最高位作为符号位。
剩余的比特串表示数值的绝对值，按如下公式解释：

[
X = (-1)^s \times (\text{useed})^k \times 2^e \times (1+f)
]
其中：
- ( s )：符号位
- ( k )：由regime字段计算出的值
- ( e )：无符号指数
- ( f )：小数部分（fraction）

如果符号位是负的（(s=1))，要先对整个数取二进制补码（Two's Complement），然后再解析出(k, e, f)。

硬件实现流程

解码（Decoding）阶段：
- 判断符号，如果为负，需要取补码；
- 提取regime（通过leading zero/one count），再提取指数(e)、小数(f)；
运算（Computation）阶段：
- 以绝对值进行加减乘除；
- 运算结束后，再根据符号位确定最终结果的正负；
编码（Encoding）阶段：
- 重新根据(k, e, f)组合；
- 如果是负数，需要再次取补码编码。

优点与缺点

项目	内容
优点	兼容IEEE 754浮点数设计思路；容易迁移现有浮点单元；早期工具链和设计成熟。
缺点	解码和编码需要两次补码（取绝对值 & 写回）；影响解码器延迟和能耗；不适合极低功耗或面积受限场景。

适用场景

想快速将浮点单元迁移到Posit；
对延迟、功耗要求不极端苛刻的应用；
原有EDA、硬件库（如浮点加法器、乘法器）想重用。

🔵 2. 两补（Two's Complement）解码

数学本质

在这种解码方式下：

不需要取绝对值；
直接把符号隐藏在小数部分（fraction）里，用二补码格式表示正负。

解码公式变为：

[
X = (\text{useed})^{\tilde{k}} \times 2^{\tilde{e}} \times (1 - 3s + f)
]

变化点：

(\tilde{e})：原指数(e)与符号(s)按位异或（XOR）；
(\tilde{k})：regime符号也随(s)变化；
小数(f)通过增加或减少固定偏移（1或-2）表达正负。

注意：

正数时，小数范围 ([1, 2))；
负数时，小数范围 ([-2, -1))。

而且负数的小数部分是高位10开头，正数是高位01开头。

硬件实现流程

解码（Decoding）阶段：
- 直接根据符号调整regime和指数，无需补码；
- 小数部分根据符号自动分配到对应的二补码格式；
运算（Computation）阶段：
- 直接以有符号数方式运算；
- 无需事先比较大小，无需取补码，无需补偿符号；
编码（Encoding）阶段：
- 直接组合各个字段；
- 只需要简单判断正负，无需取补码。

优点与缺点

项目	内容
优点	解码和编码无需取补码；延迟降低，面积功耗大幅下降；加法器和乘法器的符号处理自然嵌入，不用额外逻辑；适合低功耗、低延迟场景。
缺点	算术核（尤其是乘法器）要处理宽得多的有符号数（四个整数位）；实现逻辑更复杂（需要关注负数乘积超出情况，如−2×−2）；对传统EDA工具兼容性稍差。

适用场景

需要极致优化面积、功耗、延迟的应用（如物联网、边缘AI）；
Deep Learning领域需要大量低位宽乘加（MAC）运算的应用；
有定制硬件设计能力的团队。

🔵 总结对比

比较维度	符号-幅值解码	两补解码
符号处理	需补码处理	无需补码，符号自然编码
解码复杂度	高	低
编码复杂度	高	低
算术核复杂度	低（逻辑简单）	略高（需处理signed multiply/normalize）
面积功耗	大	小
延迟	长	短
易用性	高（兼容浮点）	较低（需特殊设计）
适用场景	通用浮点加速器改造	极限优化AI/IoT硬件

很好！这次我将使用严格符合 Posit〈8,1〉 格式（8位宽，总是正好8位）的两个例子，
重新、标准、详细地推导 符号-幅值解码 和 两补解码 的全过程。

🧩 严格版案例设定

例子1（正数）：

编码（8位二进制）：0 1110 100

对应：

符号位：0
Regime字段：1110（连续3个1，后跟0）
剩余位：1（exponent）+ 00（fraction）

例子2（负数）：

编码（8位二进制）：1 0001 110

对应：

符号位：1
Regime字段：0001（连续3个0，后跟1）
剩余位：1（exponent）+ 10（fraction）

✏️ 正确推导：例子1【正数 0 1110 100】

符号-幅值解码（传统方法）

步骤如下：

符号位 (s = 0)（正数，无需取补码）
Regime字段 1110
- 3个连续1
- (k = l - 1 = 3 - 1 = 2)
Exponent字段
- 接下来1位：1
- exponent = 1
Fraction字段
- 剩下2位：00
- fraction = 0
计算公式：

useed (= 2^{21} = 2^2 = 4)

[
X = (-1)^0 \times 4^2 \times 2^1 \times (1 + 0)
]
[
X = 1 \times 16 \times 2 \times 1 = 32
]

✅ 结果：32

两补解码（Yonemoto方法）

步骤如下：

符号位 (s=0)（正数）
Regime字段：1110
- 3个连续1
- (k = l - 1 = 2)
Exponent字段
- 1
- exponent = 1 XOR 0 = 1
Fraction字段
- 00 → fraction = 0
计算公式：

[
X = 4^2 \times 2^1 \times (1 - 3s + f)
]
[
X = 16 \times 2 \times (1 - 0 + 0) = 32
]

✅ 结果：32

✏️ 正确推导：例子2【负数 1 0001 110】

符号-幅值解码（传统方法）

步骤如下：

符号位 (s=1)（负数）
取补码（除了符号位，后7位）：
- 0001110
- 取反：1110001
- 加1：1110010
Regime字段（从补码后）
- 1110
- 3个连续1
- (k = l-1 = 3-1 = 2)
Exponent字段
- 0
- exponent = 0
Fraction字段
- 10
- fraction = 10 → 0.5
计算公式：

useed (= 4)

[
X = (-1)^1 \times 4^2 \times 2^0 \times (1 + 0.5)
]
[
X = -16 \times 1.5 = -24
]

✅ 结果：−24

两补解码（Yonemoto方法）

步骤如下：

符号位 (s=1)（负数）
Regime字段 0001
- 3个连续0
- (k = l - 1 = 3 - 1 = 2)
Exponent字段
- 1
- Exponent 1 XOR 符号位1 → 1 ⊕ 1 = 0
Fraction字段
- 10 → fraction = 0.5
计算公式：

[
X = 4^2 \times 2^0 \times (1 - 3\times1 + 0.5)
]
[
X = 16 \times 1 \times (1-3+0.5) = 16 \times (-1.5) = -24
]

✅ 结果：−24

🔥 总结复核

例子	符号-幅值解码结果	两补解码结果	最终正确性
0 1110 100	+32	+32	✅
1 0001 110	-24	-24	✅

✔️ 正式推导结束！这次保证是严格8位、标准Posit〈8,1〉格式下的分析。

要不要我接着用这两个例子，继续给你演示一下加法或乘法硬件流程对比？比如计算：

(32 + (-24))
(32 \times (-24))

太好了！下面我就继续用上面两个严格合法的 Posit〈8,1〉编码例子：

0 1110100 → +32
1 0001110 → −24

来演示：

✅ 任务：计算 `+32 + (−24)`，即结果为 +8

我们将分别从符号-幅值解码和两补解码两个角度，推导出该加法运算在硬件中的执行流程差异。

🔵 一、符号-幅值解码路径（传统方式）

💡 总思路：

先对每个 Posit 编码进行解码：提取 (k, e, f)
对负数先取补码再解码（需要前处理！）
变为绝对值运算：做对齐（exponent）、移位、相加
得到结果后，再编码（若为负需补码）

步骤：

Step 1: 解码两个数

+32：
- (k_1 = 2), (e_1 = 1), (f_1 = 0)
- (val_1 = 4^2 \times 2^1 \times (1+0) = 32)
−24：
- 补码后提取 (k_2 = 2), (e_2 = 0), (f_2 = 0.5)
- (val_2 = - (4^2 \times 2^0 \times 1.5) = -24)

Step 2: 统一 exponent

(e_1 = 1), (e_2 = 0)，所以把 (val_2) 的 significand 右移一位

(val_2_sig = 1.5 → 0.75)

Step 3: 相加

[
val_1 = 32,\quad val_2 = -24 → 32 + (-24) = 8
]

Step 4: 编码为新的 Posit〈8,1〉

(8 = 4^1 \times 2^1 \times 1) → (k = 1, e = 1, f = 0)
构造编码：
- 符号位：0
- Regime：110（2个1 + 终止0，表示k=1）
- exponent：1
- fraction：00
最终编码：0 110 1 00（共8位）

✅ 结果编码：01101100

🔴 二、两补解码路径（Yonemoto方法）

💡 总思路：

两个Posit直接解码，无需补码
所有运算在有符号fixed-point空间进行
符号嵌入了小数中：±(1~2) 的区间
不需要后期再转换符号，也不需要判断大小再决定谁减谁

步骤：

Step 1: 解码两个数

+32：
- (k_1 = 2), (e_1 = 1), (f_1 = 0), (sig_1 = 1)
- 结果 (val_1 = 4^2 \times 2^1 \times (1 + 0) = 32)
−24：
- (k_2 = 2), (e_2 = 0), (f_2 = 0.5), (sig_2 = -2 + 0.5 = -1.5)
- 结果 (val_2 = 4^2 \times 2^0 \times (-1.5) = -24)

Step 2: 加法

直接相加：
[
32 + (-24) = 8
]

Step 3: 反向编码 Posit〈8,1〉

与上面一样，值为8 = (4^1 \times 2^1 \times 1)
构造 Posit 编码：
- 符号：0
- Regime：110（k=1）
- exponent：1
- fraction：00

✅ 编码仍然是：01101100

🔧 硬件路径对比总结

操作阶段	符号-幅值（传统）	两补（Yonemoto）
解码前处理	需负数取补码（多1次加法+取反）	不需要
对齐处理	需比较大小、确定对齐方向	不需要，用signed addition直接加
符号处理	需在结果阶段判断结果正负并做补码写回	内嵌于运算中
加法器逻辑	无符号加法器+比较逻辑	有符号加法器（支持负significand）
编码后处理	可能需再次补码写回	无需符号变换

🔺传统方式更“浮点式”，而两补方式更“整数式”，逻辑路径更短。

✅ 结论

对于 +32 + (-24)，无论哪种解码方式，结果正确性完全一致；
但从硬件实现角度看，两补解码省去了两次补码和一次大小判断对齐，整体路径更短、面积更小、功耗更低；
论文中正是基于这种对比，得出两补方案适合更高能效的设计。

这个问题问得非常关键。你提到的这一步：

Step 2: 统一 exponent
( e_1 = 1 ), ( e_2 = 0 )，所以把 ( \text{val}2 ) 的 significand 右移一位
( \text{val}{2,\text{sig}} = 1.5 \rightarrow 0.75 )

🧠 这一步是做什么的？

这一步是 浮点或Posit加法运算中最核心的步骤之一，称为：

✅ 对齐操作（alignment）

它的作用是：
让两个要相加的数具有相同的指数（exponent），从而可以直接将它们的小数部分（significand）进行相加或相减。

🔍 为什么要做对齐？

浮点数或Posit数采用如下表示方式：

[
X = \text{sign} \times \text{base}^{\text{exponent}} \times \text{significand}
]

如果两个数的 exponent 不同，比如：

( X_1 = 2^1 \times 1.0 = 2 )
( X_2 = 2^0 \times 1.5 = 1.5 )

你不能直接把 1.0 和 1.5 相加，因为它们属于不同的“尺度”，就像“2元”和“2角”不能直接相加一样。

✅ 怎么做对齐？

把指数小的数“右移”它的小数部分，让它的指数变得和另一个数一样大。

回到你提的情况：

( e_1 = 1 )，( \text{sig}_1 = 1.0 )
( e_2 = 0 )，( \text{sig}_2 = 1.5 )

我们把 ( \text{sig}_2 ) 右移 1 位（相当于除以2）：

[
\text{sig}_2 = 1.5 \rightarrow 0.75 \quad \text{并升 exponent } e_2 \rightarrow 1
]

这样，两个数就都处于 (2^1) 的尺度下：

[
X_1 = 2^1 \times 1.0 = 2 \
X_2 = 2^1 \times 0.75 = 1.5
]

这时候就可以直接把 significand 相加了：

[
1.0 + 0.75 = 1.75，\quad \text{结果就是 } 2^1 \times 1.75 = 3.5
]

🔁 在硬件中，这对应什么操作？

比较两个exponent大小
选择小的那一个数的 significand
使用移位器（shifter）右移它的值
然后再将两个 aligned significands 相加

这一步的存在是浮点加法比整数加法复杂的根源之一。

💡 在Posit里也有这一步？

是的，在符号-幅值解码（传统浮点式）Posit加法中仍然需要这个步骤。

但在两补解码（Yonemoto方案）里，因为significand是有符号数（已包含符号），所以你可以直接做加法，不再需要对齐逻辑，这就是它能节省逻辑面积和延迟的关键点之一。

posted @ 2025-04-29 18:11 江左子固阅读(67) 评论(0) 收藏举报

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龙场悟道

工以立命，文以修身；依人为镜，自臻自爱；广学穷辨，慎言多行；不以物喜，不以己悲；激扬文字，挥斥方遒

《Comparing Different Decodings for Posit Arithmetic》（一）

1. 论文主要内容与研究方向

2. 研究方法介绍（包含截图）

3. 研究结果分析

4. 论文出处及期刊/会议等级

5. 论文是否有开源代码

6. 相关原文出处标注

🔵 1. 符号-幅值（Sign-Magnitude）解码

数学本质

硬件实现流程

优点与缺点

适用场景

🔵 2. 两补（Two's Complement）解码

数学本质

硬件实现流程

优点与缺点

适用场景

🔵 总结对比

🧩 严格版案例设定

例子1（正数）：

例子2（负数）：

✏️ 正确推导：例子1【正数 0 1110 100】

符号-幅值解码（传统方法）

两补解码（Yonemoto方法）

✏️ 正确推导：例子2【负数 1 0001 110】

符号-幅值解码（传统方法）

两补解码（Yonemoto方法）

🔥 总结复核

✅ 任务：计算 +32 + (−24)，即 结果为 +8

🔵 一、符号-幅值解码路径（传统方式）

💡 总思路：

步骤：

Step 1: 解码两个数

Step 2: 统一 exponent

Step 3: 相加

Step 4: 编码为新的 Posit〈8,1〉

🔴 二、两补解码路径（Yonemoto方法）

💡 总思路：

步骤：

Step 1: 解码两个数

Step 2: 加法

Step 3: 反向编码 Posit〈8,1〉

🔧 硬件路径对比总结

✅ 结论

🧠 这一步是做什么的？

🔍 为什么要做对齐？

✅ 怎么做对齐？

🔁 在硬件中，这对应什么操作？

💡 在Posit里也有这一步？

公告

✅ 任务：计算 `+32 + (−24)`，即结果为 +8