Day 11 数论
第一题 鸽巢定理
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 const int N=100000+5; 4 int a[N],q[N]; 5 int main() 6 { 7 int T,n,m; 8 int ans=0; 9 int q; 10 cin>>T; 11 while(T--) 12 { 13 cin>>n>>m; 14 for(int i=0;i<n;i++) 15 { 16 cin>>a[i]; 17 } 18 for (int j=0;j<n;j++) 19 { 20 ans+=a[j]; 21 q[j]=ans%m; 22 } 23 q=ans%m; 24 for(int t=0;t<n;t++) 25 { 26 if 27 } 28 if (q==0) cout<<"YES"<<endl; 29 else cout<<"no"<<endl; 30 31 } 32 }
100000，又用两个for显然超时
正确代码，结构好一万倍，但思路还是那个：
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 const int N=100000+5; 4 bool a[N]; 5 int sum[N]; 6 7 int main () 8 { 9 int T; 10 cin>>T; 11 while (T--) 12 { 13 int n,m; 14 cin>>n>>m; 15 for(int j=0;j<N;j++) 16 { 17 a[j]=0; 18 sum[j]=0; 19 } 20 int flag=0;a[0]=1; 21 for (int i=1;i<=n;i++) 22 { 23 int u; 24 cin>>u; 25 sum[i]=(sum[i-1]+u)%m; 26 if(a[sum[i]]) flag=1; 27 else a[sum[i]] = 1; 28 } 29 if(flag==1) cout<<"YES"<<endl; 30 else cout<<"NO"<<endl; 31 } 32 }
给你一个n个数的数列，一定有连续的m（m<=n）个数是n的倍数，可以简单证明下：
假设有一n个数的序列，把他们的前缀和存到S[i]数组中，代表从第1个到第i个相加的和，
把他们全对n取余，那范围肯定只有0~n-1这n个数，特判0，肯定yes，
那只剩下1~n-1了，如果没有0那n个数，不可能只有n-1种情况，所以必定有重复的，不妨假设S[i]%n == S[j]%n !=0 (i < j) 此时用(S[j]-S[i])%n肯定为0，也就是说i到j为连续的序列是n的倍数
根据上面的证明，最后我们只要求一个Sn（1~n之和）对m取余，看是否有=0的情况，或者有两个相等的情况就yes，否则no。
第四题
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<iostream> 4 using namespace std; 5 typedef long long LL; 6 typedef pair<LL, LL> PLL; 7 const int N=100000+5; 8 LL a[N],b[N],m[N]; 9 //模板大法好。。。 10 LL gcd(LL a,LL b) 11 { 12 return b?gcd(b,a%b):a; 13 } 14 15 void ex_gcd (LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL &d) 16 { 17 if(!b) 18 { 19 d=a; 20 x=1; 21 y=0; 22 } 23 else 24 { 25 ex_gcd(b,a%b,y,x,d); 26 y -= x*(a/b); 27 } 28 } 29 30 LL inv(LL t ,LL p) 31 { 32 LL d,x,y; 33 ex_gcd(t,p,x,y,d); 34 return d==1?(x%p+p)%p:-1; 35 } 36 37 PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) 38 {//求解A[i]x = B[i] (mod M[i]),总共n个线性方程组 39 LL x = 0, m = 1; 40 for(int i = 0; i < n; i ++) 41 { 42 LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = gcd(M[i], a); 43 if(b % d != 0) return PLL(0, -1);//答案不存在，返回-1 44 LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d); 45 x = x + m*t; 46 m *= M[i]/d; 47 } 48 x = (x % m + m ) % m; 49 return PLL(x, m);//返回的x就是答案，m是最后的lcm值 50 } 51 52 int main() 53 { 54 int k; 55 while (cin>>k&&k) 56 { 57 for(int i=0;i<k;i++) 58 { 59 a[i]=1; 60 cin>>m[i]>>b[i]; 61 } 62 PLL ans =linear(a,b,m,k); 63 if(ans.second==-1) cout<<"-1"<<endl; 64 else cout<<ans.first<<endl; 65 } 66 return 0; 67 }
欧几里得
拓展欧几里得
模板
在这里学到的一点是 一个函数往回返回两个值要怎么返回 typedef pair <LL, LL> PLL
调用就是 PLL ans ;;;; ans.firsst /ans.second....
