2026年五一杯数学建模B题深度解析：多工序协同调度的工程化实现

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2026年五一杯数学建模B题“多工序协同作业问题”并非简单的工序排序，它融合了设备运输、资源互斥与同步完工等复杂约束。本文将从工程实现角度，解析如何构建调度模型、设计启发式算法，并输出可验证的甘特图与结果表。

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这道题的真正难点

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题目要求安排A、B、C、D、E五个车间的整修任务，但远非“排个顺序”那么简单。它同时包含：固定工序链、设备类型需求、设备移动速度、班组初始位置、车间距离，以及“某些工序需要两类设备共同完成”的同步完工规则。

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最容易低估的是运输时间和同步约束。设备在同一车间连续作业时运输时间可忽略，但跨车间移动必须计入；一道工序若需要两类设备，不能只看先完成的那台，而要等所有参与设备都完成对应工程量后，后续工序才可释放。

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因此，最终将其抽象为带运输时间、资源互斥和同步完工约束的资源受限调度问题。第1问可解析化简，第2问进入多车间资源竞争，第3问则加入双班组设备池。

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从题目到调度模型

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题目附件 B-附件.xlsx 包含三个核心表：

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• 工序流程表：各车间工序、工程量、所需设备类型及效率。
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• 班组配置表：班组1、2的设备编号、数量、移动速度和单价。
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• 车间距离表：班组到车间、车间到车间的距离。
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业务上可理解为：每个车间是一条固定工序链，每道工序可能需要一台或多台设备；设备需从当前位置移动至目标车间才能开工，同一设备不能同时服务两道工序。

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第3问的全局设备调度甘特图直观展示了“设备池 + 车间链 + 时间轴”的结构：

图中每一行是一台设备，横向条块代表设备在某工序的工作区间，颜色对应不同车间。相比只输出总工期，甘特图更易暴露设备瓶颈、车间等待与跨车间切换带来的空档。

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⚙️ 模型逐层升级

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本项目完成了前3问的求解与输出。第4问涉及设备购置决策，当前目录中无 result_question4/ 或对应结果，因此本文仅将其作为可扩展方向，不虚构购置方案。

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阶段	问题抽象	项目中的处理方式
第 1 问	班组 1 独立完成 A 车间，工序链为	固定顺序下最早开工，得到解析最优调度
第 2 问	班组 1 完成 A-E 五个车间，存在设备竞争和跨车间运输	贪心构造 + 随机扰动 + 局部搜索
第 3 问	班组 1、2 共同完成 A-E 五个车间，设备池扩大且初始位置不同	双班组 GA + 贪心解码 + 局部搜索
第 4 问	预算约束下的设备购置 + 调度联合优化	当前目录未发现结果文件，本文不写具体数值

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第2问和第3问均未声明“已证明全局最优”，输出的是当前最好可行解。博客中只按“启发式当前最好可行解”表述。

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数学模型设计

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设车间集合为 W = {A, B, C, D, E}，车间 w 内有序工序集合为 I_w。设备集合为 E，设备类型集合为 K。若工序 i 需要设备类型 k，则记 k ∈ K_i。第3问中还需班组集合 G = {1, 2}，设备 e 属于班组 g(e)。

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关键参数包括：工程量 q_i、效率 v_ik、距离 d_uv、设备速度 s_e。加工时间按“精确到秒且向上取整”处理：
pik = ⌈ qi / vik × 3600 ⌉
运输时间同理：
τeuv = ⌈ duv / se ⌉
这两个公式对应代码中的 compute_processing_time() 和 compute_travel_time()，是整套时间计算的基础。

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决策变量：工序开始时间 S_i、同步完工时间 C_i、设备分配 x_ie、设备顺序 y_ije、总工期 C_max。若做启发式求解，编码层面不直接搜索所有变量，而是搜索“车间释放序列”，解码器根据序列逐步选择下一道可排工序并分配设备。

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目标函数：最小化所有车间最后一道工序的最大完工时间：
min Cmax
在实现中，makespan 等于各车间完工时间的最大值。

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关键约束：

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• 车间内工序顺序固定：Sir+1 ≥ Cir
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• 每道工序必须选择一台对应类型设备：∑e∈Ek xie = 1
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• 设备唯一占用与跨车间运输：若设备 e 先做工序 i 再做 j，则 Sj ≥ Cie + τe,w(i),w(j)
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• 多设备同步完工：Ci = maxk∈Ki, e∈Ek: xie=1 {Si + pik}
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代码工程结构

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第1、2问在根目录下分别有 question1_solver.py 和 question2_solver.py。第3问被整理成更完整的工程目录：

question3_project/
├─ main.py
├─ config.py
├─ data_loader.py
├─ entities.py
├─ preprocess.py
├─ time_utils.py
├─ decoder.py
├─ exact_solver.py
├─ heuristic_solver.py
├─ local_search.py
├─ validator.py
├─ reporter.py
├─ visualization.py
├─ io_utils.py
├─ logger_utils.py
├─ requirements.txt
└─ README.md

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各模块职责清晰：

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• data_loader.py：读取Excel，解析工序、班组和距离。
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• preprocess.py：构建设备池、候选设备映射，展开重复工序。
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• decoder.py：把车间序列解码成具体设备分配、开始与结束时间。
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• heuristic_solver.py / local_search.py：生成初始解，并通过扰动、交叉、局部搜索改进。
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• validator.py：检查工序顺序、设备重叠、运输时间、同步完工。
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• visualization.py：输出甘特图、运输热力图、利用率图、收敛曲线。
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• reporter.py：生成结果表、摘要表和日志说明。
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这种拆分的好处是：调度逻辑、结果校验和图表输出互不缠绕。后续做第4问购置决策时，只需在设备池生成阶段加入新增设备变量，无需重写可视化和校验链路。

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关键代码片段解析

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6.1 时间计算：统一成秒

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来自 question3_project/time_utils.py：

def compute_processing_time(quantity: float, efficiency: float) -> int:
if efficiency <= 0:
raise ValueError(f"设备效率必须为正数，当前为：{efficiency}")
return int(math.ceil(quantity / efficiency * 3600))
def compute_travel_time(distance_m: float, speed_mps: float) -> int:
if speed_mps <= 0:
raise ValueError(f"设备移动速度必须为正数，当前为：{speed_mps}")
return int(math.ceil(distance_m / speed_mps))

这段代码对应题目“小时、米、秒”和“向上取整”的要求，所有后续调度只处理秒，避免单位换算。

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6.2 构建设备池与候选映射

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来自 question3_project/preprocess.py：

def build_devices(team_df: pd.DataFrame) -> tuple[dict[str, Device], dict[str, list[str]]]:
devices: dict[str, Device] = {}
candidates_by_type: dict[str, list[str]] = {}
for _, row in team_df.iterrows():
device = Device(
device_id=str(row["设备编号"]),
equipment_type=str(row["设备类型"]),
team=str(row["班组"]),
speed_mps=float(row["移动速度(m/s)"]),
unit_price=float(row["设备单价(元/台)"]),
)
devices[device.device_id] = device
candidates_by_type.setdefault(device.equipment_type, []).append(device.device_id)
for key in candidates_by_type:
candidates_by_type[key] = sorted(candidates_by_type[key])
return devices, candidates_by_type

第3问设备来自两个班组，代码将设备编号、类型、所属班组和速度统一封装成 Device，再按类型建立候选列表。解码器只需根据工序需求取候选设备即可。

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6.3 展开重复工序与多设备需求

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来自 question3_project/preprocess.py：

for _, row in group.iterrows():
equipment_type = str(row["设备类型"])
if equipment_type not in candidates_by_type:
raise ValueError(f"两个班组中均没有工序 {base_process_id} 所需设备类型：{equipment_type}")
requirements.append(
Requirement(
equipment_type=equipment_type,
efficiency=float(row["效率(m3/h)"]),
duration_s=int(row["加工时长(s)"]),
)
)

附件中一道工序可能对应多种设备类型，代码将其统一变成 Requirement 列表，解码时可自然处理“单设备”和“双设备同步”工序。

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6.4 设备分配：枚举候选组合

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来自 question3_project/decoder.py：

candidate_lists = [candidates_by_type[req.equipment_type] for req in op.requirements]
evaluated = []
for combo in product(*candidate_lists):
if len(set(combo)) < len(combo):
continue
assignments = []
ready_times = []
total_travel = 0
for req, device_id in zip(op.requirements, combo):
device = devices[device_id]
from_pos = device_location[device_id]
travel_s = travel_for_device(device, from_pos, op.workshop, distance_df)
ready_s = device_available[device_id] + travel_s
ready_times.append(ready_s)
total_travel += travel_s
assignments.append(
{
"requirement": req,
"device_id": device_id,
"team": device.team,
"from_pos": from_pos,
"to_pos": op.workshop,
"travel_s": int(travel_s),
"ready_s": int(ready_s),
}
)
start_s = max([workshop_ready] + ready_times)
completion_s = max(start_s + item["requirement"].duration_s for item in assignments)
team_balance = len(set(item["team"] for item in assignments))
evaluated.append((completion_s, start_s, total_travel, -team_balance, combo, assignments))

这是解码器的核心：对工序所需设备类型做笛卡尔积，枚举候选组合；计算每台设备从当前位置到目标车间的运输时间；用最晚就绪时间作为工序开始时间，用最大结束时间作为同步完工时间。排序关键字包含 completion_s、start_s、total_travel 和 team_balance，在启发式解码中可稳定生成可行且质量较好的调度。

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6.5 解码序列：车间释放顺序

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来自 question3_project/decoder.py：

workshop_ready = {w: 0 for w in operations_by_workshop}
device_available = {device_id: 0 for device_id in devices}
device_location = {device_id: initial_location(device) for device_id, device in devices.items()}
next_index = {w: 0 for w in operations_by_workshop}
def schedule_next(workshop: str) -> bool:
if workshop not in operations_by_workshop or next_index[workshop] >= len(operations_by_workshop[workshop]):
return False
op = operations_by_workshop[workshop][next_index[workshop]]
start_s, completion_s, assignments = select_assignment(
op, workshop_ready[workshop], device_available, device_location,
candidates_by_type, devices, distance_df, random_tie=random_tie
)
commit_operation(
op, start_s, completion_s, assignments, workshop_ready, device_available,
device_location, records, process_records, routes, operation_times, devices
)
next_index[workshop] += 1
return True

编码层只关心“下一次尝试释放哪个车间的一道工序”，真正的开始时间、设备选择、运输时间和同步完工都在解码器中算出。搜索空间比直接枚举设备排序小得多。

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6.6 局部搜索：扰动序列

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来自 question3_project/local_search.py：

def mutate_sequence(sequence: list[str], rng: random.Random) -> list[str]:
candidate = sequence[:]
if len(candidate) < 2:
return candidate
op = rng.choice(["swap", "insert", "reverse"])
i, j = sorted(rng.sample(range(len(candidate)), 2))
if op == "swap":
candidate[i], candidate[j] = candidate[j], candidate[i]
elif op == "insert":
item = candidate.pop(j)
candidate.insert(i, item)
else:
candidate[i : j + 1] = reversed(candidate[i : j + 1])
return candidate

局部搜索不直接修改设备开始时间（易破坏可行性），只扰动车间序列，再交给解码器重新生成调度。可行性压力集中在解码器和校验器，搜索逻辑更轻。

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6.7 自动校验

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来自 question3_project/validator.py：

for device_id, group in raw.sort_values(["设备编号", "起始秒"]).groupby("设备编号"):
device = devices[device_id]
prev = None
for _, row in group.iterrows():
if prev is None:
required_travel = travel_for_device(device, device.team, row["所属车间"], distance_df)
if int(row["起始秒"]) < required_travel:
errors.append(f"设备 {device_id} 首次从{device.team}到{row['所属车间']}的运输时间未计入。")
else:
required_travel = travel_for_device(device, prev["所属车间"], row["所属车间"], distance_df)
if int(row["起始秒"]) < int(prev["结束秒"]) + required_travel:
errors.append(f"设备 {device_id} 从{prev['所属车间']}到{row['所属车间']}运输时间不足。")
prev = row

检查同一设备连续作业间是否留足运输时间。调度题最怕“结果看起来排满，但设备瞬移了”。项目将校验报告作为正式输出，三问日志均显示校验通过。

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6.8 可视化：甘特图

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来自 question3_project/visualization.py：

def plot_gantt_global(result: SolutionSummary) -> plt.Figure:
setup_chinese_font()
df = pd.DataFrame(result.records).sort_values(["设备编号", "起始秒"])
devices = list(df["设备编号"].drop_duplicates())
y_map = {device: idx for idx, device in enumerate(devices)}
fig, ax = plt.subplots(figsize=(13, max(5, 0.32 * len(devices) + 1.8)))
for _, row in df.iterrows():
y = y_map[row["设备编号"]]
ax.barh(y, row["持续工作时间(s)"], left=row["起始秒"], height=0.5,
color=WORKSHOP_COLORS.get(row["所属车间"], "#999999"), edgecolor="white", label=row["所属车间"])
ax.text(row["起始秒"] + row["持续工作时间(s)"] / 2, y, row["工序编号"], ha="center", va="center", fontsize=7, color="white")

甘特图不仅是美化工具，更是诊断工具，用于反查瓶颈设备、空闲间隙、车间完工顺序和异常等待。

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结果图表复盘

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7.1 第1问：单车间固定链

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第1问只有A车间，工序链固定为 A1 -> A2 -> A3，同车间内设备转运忽略。最短总时长为 41600 s = 11:33:20。其中A1在 01:33:20 同步完工，A2在 06:33:20 同步完工，A3在 11:33:20 完工。利用率最高的是 高速抛光机1-1 和 自动传感多功能机1-1，均为 43.27%。

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7.2 第2问：单班组多车间

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第2问只使用班组1设备完成五个车间。最终总工期为 170970 s = 47:29:30，方法为“贪心构造+随机扰动+局部搜索”，状态为“Gurobi不可用或未采用精确解，输出启发式当前最好可行解”。瓶颈设备：高速抛光机1-1 工作 135000 s，利用率 78.96%；自动传感多功能机1-1 工作 117360 s，利用率 68.64%。运输时间合计 9210 s，占总工期约 5.39%。C -> B、D -> C、班组1 -> D 等路径运输时间较突出。迭代记录数 961，初始记录 229040 s，最终 170970 s，下降 58070 s，比例 25.35%，说明扰动和局部搜索有效。

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7.3 第3问：双班组协同

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%%PROTECTED A1 -> A2 -> A3