【算法进阶】滑动窗口与前缀和：从“和为 K”到“最小覆盖子串”的极限挑战

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1. 题目一：和为 K 的子数组 (LeetCode 560)

题目背景

  这道题虽然被归类在子串/子数组中，但它是**“滑动窗口”思想的变体——前缀和 + 哈希表**。当子数组包含负数时，标准的滑动窗口无法工作，必须借助前缀和。

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核心技巧：前缀和思想

  • 定义为范围内的元素之和。
  • 任意子数组的和可以表示为 。
  • 我们需要寻找满足的个数，等价于 。
public class Solution {
public int subarraySum(int[] nums, int k) {
int count = 0; // 记录符合条件的子数组数量
int pre = 0;   // 累加前缀和
// HashMap 存储 (前缀和, 该前缀和出现的次数)
HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
  map.put(0, 1); // 初始化：前缀和为 0 出现了 1 次（处理从索引 0 开始的子数组）
  for (int num : nums) {
  pre += num; // 计算当前前缀和
  // 如果存在 pre - k，说明从那个位置到当前位置的子数组和正好为 k
  if (map.containsKey(pre - k)) {
  count += map.get(pre - k); // 累加次数
  }
  // 将当前前缀和存入或更新 map
  map.put(pre, map.getOrDefault(pre, 0) + 1);
  }
  return count;
  }
  }

2. 题目二：滑动窗口最大值 (LeetCode 239)

题目背景

  这是固定窗口的极致优化版。普通遍历是 ，通过单调队列可以优化到 。

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核心技巧：单调双端队列 (Deque)

  • 队列性质：队列中存储元素的索引，且对应的值从大到小排列。
  • 入队逻辑：新元素进入前，将队列后端所有比它小的元素全部弹出（因为它们永远不可能成为后续窗口的最大值了）。
  • 出队逻辑：当窗口滑动时，检查队列头部的索引是否已经超出了窗口左边界，若是则移除。
class Solution {
public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
int n = nums.length;
// 单调双端队列，存放下标
Deque<Integer> deque = new LinkedList<Integer>();
  // 初始化第一个窗口
  for (int i = 0; i < k; ++i) {
  while (!deque.isEmpty() && nums[i] >= nums[deque.peekLast()]) {
  deque.pollLast(); // 保持队列单调递减
  }
  deque.offerLast(i);
  }
  int[] ans = new int[n - k + 1];
  ans[0] = nums[deque.peekFirst()]; // 队头永远是当前窗口最大值
  for (int i = k; i < n; ++i) {
  // 入：新元素入队逻辑
  while (!deque.isEmpty() && nums[i] >= nums[deque.peekLast()]) {
  deque.pollLast();
  }
  deque.offerLast(i);
  // 出：移除离开窗口的过期下标
  while (deque.peekFirst() <= i - k) {
  deque.pollFirst();
  }
  // 记录当前窗口结果
  ans[i - k + 1] = nums[deque.peekFirst()];
  }
  return ans;
  }
  }

3. 题目三：最小覆盖子串 (LeetCode 76)

题目背景

  这是变长滑动窗口最经典、也是最难的模板题。

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核心技巧：双指针+计数器

  1. **右指针 right**：负责寻找“可行解”，不断扩大窗口直到覆盖 t 中所有字符。
  2. **左指针 left**：负责寻找“最优解”，在保持覆盖的情况下，不断收缩窗口以获得最短长度。
  3. **有效计数 valid**：记录当前窗口内有多少种字符达到了 t 要求的频次。
class Solution {
public String minWindow(String s, String t) {
int[] ori = new int[128]; // 记录 t 中字符频次
int[] cnt = new int[128]; // 记录当前窗口字符频次
int valid = 0, needMatch = 0; // 匹配成功的种类数 & 需要匹配的总种类数
for (char c : t.toCharArray()) {
if (ori[c] == 0) needMatch++;
ori[c]++;
}
int left = 0, right = 0, minLen = Integer.MAX_VALUE, start = -1;
while (right < s.length()) {
char cur = s.charAt(right++); // 扩大窗口
if (ori[cur] > 0) {
cnt[cur]++;
if (cnt[cur] == ori[cur]) valid++; // 某种字符数量达标
}
// 当窗口满足条件，开始收缩寻找最优解
while (valid == needMatch) {
if (right - left < minLen) {
minLen = right - left;
start = left;
}
char d = s.charAt(left++); // 缩小窗口
if (ori[d] > 0) {
if (cnt[d] == ori[d]) valid--;
cnt[d]--;
}
}
}
return start == -1 ? "" : s.substring(start, start + minLen);
}
}

4. 深度思考：滑动窗口类题目的通用心法

  这类题目通常具有单调性：即窗口扩大时，某个属性（如和、字符种类）单调递增；窗口缩小时，该属性单调递减。

思考流程模型

  1. 属性判断：
  • 窗口固定吗？ 固定则用 i-k 逻辑（239题）。
  • 能用简单双指针吗？ 如果数组里有负数，简单的 left++ 可能让和变大也可能变小，此时单调性破坏，需改用前缀和（560题）。
  1. 窗口状态维护：
  • 如何快速知道当前窗口是否满足条件？
  • 是查 HashSet 的 size？还是对比数组？或者是维护一个 valid 计数器？
  1. 单调队列的应用场景：
  • 当你不仅需要维护窗口的状态，还需要维护窗口内的最值（最大/最小）时，单调队列是标准解法。

额外拓展：双端队列 vs 堆

  在“滑动窗口最大值”中，我们也可以使用大顶堆（PriorityQueue）。但堆的删除复杂度是 ，总复杂度 。而单调队列通过舍弃“永远没机会当最大值”的元素，实现了 ，这是算法逻辑上的降维打击。

希望这篇总结能帮你在刷题之路上更进一步！如果你对“单调栈”或者“二分查找”结合滑动窗口的题目感兴趣，可以随时告诉我。