线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章 线性代数中的线性方程组 1.7线性无关(2) - 实践

---

21. a. 若方程$A\mathbf{x}=0$有平凡解，则矩阵$A$的各列线性无关。

解答：
齐次方程 $A\mathbf{x}=0$总是有平凡解（即$\mathbf{x}=0$），但矩阵各列线性无关当且仅当方程只有平凡解。命题中“有平凡解”这一条件不排除存在非平凡解的可能性，因此不能推出各列线性无关。例如，考虑矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]$，方程 $A\mathbf{x}=0$第一列的 2 倍）。就是有平凡解，但各列线性相关（第二列

结论：
命题为假。

---

21. b. 若 $S$是线性相关集，则$S$中每个向量是其他向量的线性组合。

解答：
线性相关集仅要求存在至少一个向量可表示为其他向量的线性组合，而非每个向量都满足此性质。例如，设$S=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\right\}$，$S$线性相关（因包含零向量），但$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ 不能表示为 $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$的线性组合（任何标量倍仍为零向量）。

结论：
命题为假。

---

21. c. 任意 $4\times 5$矩阵的各列线性相关。

解答：
$4\times 5$矩阵有 5 个列向量，每个向量属于${\mathbb{R}}^4$（4 维空间）。根据定理 8（向量个数超过空间维数时必线性相关），因$5>4$，故任意 5 个 4 维向量均线性相关。

结论：
命题为真。

---

21. d. 若 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$线性无关，而$\{\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\}$线性相关，则$\mathbf{z}$ 属于 $\text{Span}\{\mathbf{x},\mathbf{y}\}$。

解答：
因 $\{\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\}$线性相关，存在不全为零的标量$a,b,c$ 使得 $a\mathbf{x}+b\mathbf{y}+c\mathbf{z}=0$。若 $c=0$，则 $a\mathbf{x}+b\mathbf{y}=0$，但 $\mathbf{x},\mathbf{y}$线性无关，故$a=b=0$，与不全为零矛盾。因此$c\ne 0$，可解出 $\mathbf{z}=-\frac{a}{c}\mathbf{x}-\frac{b}{c}\mathbf{y}$，即 $\mathbf{z}\in \text{Span}\{\mathbf{x},\mathbf{y}\}$。

结论：
命题为真。

---

22. a. 两个向量是线性相关的当且仅当它们位于过原点的一条直线上。

解答：
在几何上，两个向量线性相关当且仅当它们平行（即标量倍关系），这等价于它们位于同一条过原点的直线上。例如，$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ 和 $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right]$ 位于直线 $y=2x$上，且线性相关；若$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ 和 $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$不共线，则线性无关。

结论：
命题为真。

---

22. b. 某个向量组的向量个数少于每个向量所含元素个数，则向量组线性无关。

解答：
向量个数少于维数是线性无关的必要非充分条件。例如，在${\mathbb{R}}^3$ 中，向量组 $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ -4\\ 6\end{array}\right]\right\}$有 2 个向量（少于维数 3），但第二向量是第一向量的 2 倍，故线性相关。

结论：
命题为假。

---

22. c. 若 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$线性无关，而$\mathbf{w}$ 属于 $\text{Span}\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$，则 $\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}$ 线性相关。

解答：
因 $\mathbf{w}\in \text{Span}\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$，存在标量 $a,b$ 使得 $\mathbf{w}=a\mathbf{u}+b\mathbf{v}$。则 $a\mathbf{u}+b\mathbf{v}-\mathbf{w}=0$是非平凡线性组合（系数$a,b,-1$不全为零），故$\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}$ 线性相关。

结论：
命题为真。

---

22. d. 若 ${\mathbb{R}}^n$中一个向量组线性相关，则此向量组包含的向量个数大于每个向量的元素个数。

解答：
线性相关不要求向量个数大于维数。例如，在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，向量组 $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]\right\}$线性相关（个数 2 等于维数 2），但个数不大于维数。命题的逆命题成立（个数 > 维数 ⇒ 线性相关），但原命题不成立。

结论：
命题为假。

23. 给出矩阵可能的阶梯型。$A$ 是 $3\times 3$矩阵，各列线性无关。

解答：
当矩阵各列线性无关时，其阶梯形必须包含 3 个主元（每列一个主元）。可能的阶梯形为：
$$\left[\begin{array}{ccc}■& \ast & \ast \\ 0& ■& \ast \\ 0& 0& ■\end{array}\right]$$
其中 $■$表示主元（非零元素），$\ast$表示任意元素。

结论：
阶梯形为 $\left[\begin{array}{ccc}■& \ast & \ast \\ 0& ■& \ast \\ 0& 0& ■\end{array}\right]$。

---

24. 给出矩阵可能的阶梯型。$A$ 是 $2\times 2$矩阵，两列线性相关。

解答：
当两列线性相关时，阶梯形中主元个数少于 2。可能的阶梯形为：
$$\left[\begin{array}{cc}■& \ast \\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& ■\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$
其中 $■$表示主元（非零元素），$\ast$表示任意元素。

结论：
阶梯形为 $\left[\begin{array}{cc}■& \ast \\ 0& 0\end{array}\right]$、$\left[\begin{array}{cc}0& ■\\ 0& 0\end{array}\right]$ 或 $\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$。

---

25. 给出矩阵可能的阶梯型。$A$ 是 $4\times 2$ 矩阵，$A=[{\mathbf{a}}_1{\mathbf{a}}_2]$，${\mathbf{a}}_2$ 不是 ${\mathbf{a}}_1$ 的倍数。

解答：
因 ${\mathbf{a}}_2$ 不是 ${\mathbf{a}}_1$的倍数，两列线性无关，阶梯形必须有 2 个主元。可能的阶梯形为：
$$\left[\begin{array}{cc}■& \ast \\ 0& ■\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& ■\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$
其中 $■$表示主元（非零元素），$\ast$表示任意元素。

结论：
阶梯形为 $\left[\begin{array}{cc}■& \ast \\ 0& ■\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ 或 $\left[\begin{array}{cc}0& ■\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$。

---

26. 给出矩阵可能的阶梯型。$A$ 是 $4\times 3$ 矩阵，$A=[{\mathbf{a}}_1{\mathbf{a}}_2{\mathbf{a}}_3]$，$\{{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2\}$ 线性无关，${\mathbf{a}}_3$ 不属于 $\text{Span}\{{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2\}$。

解答：
因 $\{{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2\}$ 线性无关且 ${\mathbf{a}}_3\notin \text{Span}\{{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2\}$，三列线性无关，阶梯形必须有 3 个主元。可能的阶梯形为：
$$\left[\begin{array}{ccc}■& \ast & \ast \\ 0& ■& \ast \\ 0& 0& ■\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
根据定理 7，第一列非零，第二列不是第一列的倍数，第三列不是前两列的线性组合（因${\mathbf{a}}_3\notin \text{Span}\{{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2\}$）。

结论：
阶梯形为 $\left[\begin{array}{ccc}■& \ast & \ast \\ 0& ■& \ast \\ 0& 0& ■\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$。

---

27. 一 $7\times 5$矩阵如果各列线性无关，则它有多少个主元列？为什么？

解答：
设 $A$ 为 $7\times 5$矩阵，若各列线性无关，则齐次方程$A\mathbf{x}=0$仅有平凡解。这意味着方程无自由变量，所有 5 个变量均为基础变量，故有 5 个主元列。

结论：
有 5 个主元列。因为若存在自由变量，则列线性相关，与题设矛盾。

---

28. 一 $5\times 7$矩阵如果其列生成${\mathbb{R}}^5$，则它有多少个主元列？为什么？

解答：
若 $A$ 的列生成 ${\mathbb{R}}^5$，则对任意 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^5$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解。根据定理 4，$A$的每一行必须有主元，故有 5 个主元（因$A$有 5 行）。每个主元位于不同列，因此有 5 个主元列。

结论：
有 5 个主元列。因为列生成${\mathbb{R}}^5$ 要求 $A$有主元在每一行，且每主元位于不同列。

---

29. 构造 $3\times 2$ 矩阵 $A$ 和 $B$，使 $A\mathbf{x}=0$仅有平凡解，$B\mathbf{x}=0$有非平凡解。

解答：

• 矩阵 $A$：需列线性无关。例如：
  $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$$
  两列非零且不互为倍数，故$A\mathbf{x}=0$仅有平凡解。

• 矩阵 $B$：需列线性相关。例如：
  $$B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$
  第二列是第一列的 2 倍，故$B\mathbf{x}=0$有非平凡解（如$x_1=-2,x_2=1$）。

结论：
$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$（列线性无关），$B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$（列线性相关）。

---

30. a. 填空：“若$A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则 $A$的各列线性无关，当且仅当$A$有 ______ 个主元列。”
    真的。就是b. 说明命题 (a) 为什么

解答：
a. 矩阵 $A$的各列线性无关当且仅当齐次方程$A\mathbf{x}=0$仅有平凡解。这等价于方程无自由变量，即所有$n$个变量均为核心变量，故$A$ 有 $n$ 个主元列。

b. 证明：

• 若各列线性无关，则$A\mathbf{x}=0$ 仅有平凡解 $\Rightarrow$ 无自由变量 $\Rightarrow$基本变量就是每个变量$\Rightarrow$ 每列有主元 $\Rightarrow$ 有 $n$ 个主元列。
• 若有 $n$个主元列，则每列有主元$\Rightarrow$ 无自由变量 $\Rightarrow$$A\mathbf{x}=0$ 仅有平凡解 $\Rightarrow$各列线性无关。

结论：
a. $n$
b. 源于列线性无关$\iff$$A\mathbf{x}=0$ 仅有平凡解 $\iff$ 无自由变量 $\iff$ 每列有主元 $\iff$ 有 $n$ 个主元列。

31. 给定 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ -5& 1& -4\\ -3& -1& -4\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$前两列之和。求出就是，观察到第 3 列$A\mathbf{x}=0$的一个非平凡解。

解答：
将 $A\mathbf{x}=0$写成列向量的线性组合：
$$x_1\left[\begin{array}{c}2\\ -5\\ -3\\ 1\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}5\\ -4\\ -4\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
前两列之和，即就是已知第 3 列${\mathbf{a}}_3={\mathbf{a}}_1+{\mathbf{a}}_2$。代入得：
$$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+x_3({\mathbf{a}}_1+{\mathbf{a}}_2)=0$$
整理为：
$$(x_1+x_3){\mathbf{a}}_1+(x_2+x_3){\mathbf{a}}_2=0$$
令系数为零：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_3=0\\ x_2+x_3=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=-x_3\\ x_2=-x_3\end{array}$$
取 $x_3=-1$，则 $x_1=1$，$x_2=1$。

结论：
非平凡解为 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]$。

---

32. 给定 $A=\left[\begin{array}{ccc}4& 1& 6\\ -7& 5& 3\\ 9& -3& 3\end{array}\right]$，观察到第 1 列加上第 2 列的两倍等于第 3 列。求出$A\mathbf{x}=0$的一个非平凡解。

解答：
将 $A\mathbf{x}=0$写成列向量的线性组合：
$$x_1\left[\begin{array}{c}4\\ -7\\ 9\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}1\\ 5\\ -3\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}6\\ 3\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
已知第 1 列加上第 2 列的两倍等于第 3 列，即${\mathbf{a}}_1+2{\mathbf{a}}_2={\mathbf{a}}_3$。移项得：
$${\mathbf{a}}_1+2{\mathbf{a}}_2-{\mathbf{a}}_3=0$$
对比线性组合形式$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+x_3{\mathbf{a}}_3=0$，直接对应系数：
$$x_1=1,x_2=2,x_3=-1$$

结论：
非平凡解为 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right]$。

33. 若 $v_1,\dots ,v_4$ 属于 ${\mathbb{R}}^4$，$v_3=2v_1+v_2$，则 $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ 线性相关。

解答：
已知 $v_3=2v_1+v_2$，移项得 $2v_1+v_2-v_3=0$。这是一个非平凡线性组合（系数$2,1,-1$不全为零），表明$\{v_1,v_2,v_3\}$线性相关。根据定理 7，若向量组的一个子集线性相关，则整个向量组也线性相关。因此$\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ 线性相关。

结论：
命题为真。

---

34. 若 $v_1,\dots ,v_4$ 属于 ${\mathbb{R}}^4$，且 $v_3=0$，则 $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ 线性相关。

解答：
向量组包含零向量$v_3=0$。根据定理 9，任何涵盖零向量的向量组都线性相关，因为存在非平凡线性组合$0\cdot v_1+0\cdot v_2+1\cdot v_3+0\cdot v_4=0$。

结论：
命题为真。

---

35. 若 $v_1$ 与 $v_2$ 属于 ${\mathbb{R}}^4$，$v_2$ 不是 $v_1$ 的倍数，则 $\{v_1,v_2\}$ 线性无关。

解答：
考虑反例：令$v_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$（零向量），$v_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$。此时 $v_2$ 不是 $v_1$的倍数（因零向量的任何倍数仍为零向量），但$\{v_1,v_2\}$线性相关（因包含零向量）。

结论：
命题为假。反例：$v_1=0$，$v_2\ne 0$。

---

36. 若 $v_1,v_2,v_3,v_4$ 属于 ${\mathbb{R}}^4$，而 $v_3$ 不是 $v_1,v_2,v_4$的线性组合，则$\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ 线性无关。

解答：
考虑反例：令
$$v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right],v_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\\ 2\end{array}\right],v_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],v_4=\left[\begin{array}{c}4\\ 4\\ 4\\ 4\end{array}\right]$$

• $v_3$ 不是 $v_1,v_2,v_4$的线性组合（因$v_1,v_2,v_4$ 均为 $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$ 的倍数，而 $v_3$ 不是）。
• 但 $\{v_1,v_2,v_4\}$线性相关（因$v_2=2v_1$，$v_4=4v_1$），故整个向量组$\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ 线性相关。

结论：
命题为假。反例：$v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$, $v_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\\ 2\end{array}\right]$, $v_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$, $v_4=\left[\begin{array}{c}4\\ 4\\ 4\\ 4\end{array}\right]$。

---

37. 若 $v_1,\dots ,v_4$ 属于 ${\mathbb{R}}^4$，$\{v_1,v_2,v_3\}$线性相关，则$\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$也线性相关。

解答：
因 $\{v_1,v_2,v_3\}$线性相关，存在不全为零的标量$c_1,c_2,c_3$ 使得 $c_1{v}_1+c_2{v}_2+c_3{v}_3=0$。构造 $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$的线性组合：
$$c_1{v}_1+c_2{v}_2+c_3{v}_3+0\cdot v_4=0$$
此组合非平凡（因$c_1,c_2,c_3$不全为零），故$\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ 线性相关。

结论：
命题为真。

---

38. 若 $v_1,\dots ,v_4$ 是 ${\mathbb{R}}^4$中线性无关向量，则$\{v_1,v_2,v_3\}$也线性无关。

解答：
假设 $\{v_1,v_2,v_3\}$线性相关，则存在不全为零的标量$c_1,c_2,c_3$ 使得 $c_1{v}_1+c_2{v}_2+c_3{v}_3=0$。构造 $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$的线性组合：
$$c_1{v}_1+c_2{v}_2+c_3{v}_3+0\cdot v_4=0$$
此组合非平凡，与$\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$线性无关矛盾。因此$\{v_1,v_2,v_3\}$必线性无关。

结论：
命题为真。

39. 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，且对 ${\mathbb{R}}^m$ 中所有 $\mathbf{b}$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$至多只有一个解。应用线性无关的定义说明$A$的各列必定线性无关。

解答：

1. 由题设，对任意$\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^m$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$至多有一个解。
2. 特别地，取 $\mathbf{b}=0$，则方程 $A\mathbf{x}=0$至多有一个解。
3. 但齐次方程 $A\mathbf{x}=0$ 总有平凡解 $\mathbf{x}=0$，因此 $A\mathbf{x}=0$只有平凡解。
4. 根据线性无关的定义，矩阵$A$的列向量线性无关当且仅当$A\mathbf{x}=0$只有平凡解。

结论：
$A$的各列必定线性无关。

---

40. 设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 有 $n$个主元列。说明为什么对${\mathbb{R}}^m$ 中每个 $\mathbf{b}$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$至多有一个解。

解答：

1. $A$ 有 $n$个主元列，意味着其阶梯形每列均含主元（无自由变量）。
2. 方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解中，自由变量对应参数化解的自由度。无自由变量时，解中无参数。
3. 若 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解，则解唯一（因无参数）；若无解，则不存在解。
4. 因此，对任意$\mathbf{b}$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$要么无解，要么唯一解，即至多有一个解。

结论：
方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$至多有一个解。