线性代数第六讲——二次型 - 详解

文章目录

• • 二次型的定义与矩阵表示
  • 化二次型为标准型与规范型
  • • 配方法
    • 合同变换法
    • 正交变换法
  • 正定二次型

二次型的定义与矩阵表示

简单来说，二次型就是由n元变量（比如$x_1,x_2,...,x_n$）构成的二次齐次多项式，称为n元二次型，简称二次型。考研只研究系数$a_{ij}\in R$的情况，故称此二次型f为实二次型。它的每一项都是二次的，例如$3x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2$。任何一个二次型都可以用一个实对称矩阵来唯一表示，记为矩阵形式$f=x^{T}Ax$ 。
二次型的矩阵A是一个对称矩阵，满足$A^T=A$

化二次型为标准型与规范型

理解标准形与规范形
• 标准形：指一个二次型通过可逆线性变换后，只包含平方项，而不包含任何混合项的形式，即$f=k_1{y}_1^2+k_2{y}_2^2+\cdots +k_n{y}_n^2$
• 规范形：是标准形的一种特殊形式，其平方项的系数只能是$1、-1或0$，即 $f=y_1^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_r^2$其中正平方项的个数$p$称为正惯性指数，负平方项的个数$r-p$称为负惯性指数，它们是由二次型本身唯一确定的（惯性定理）。
化二次型为标准形主要有配方法、合同变换法和正交变换法。

配方法

惯性指数：这是二次型的“身份证”。根据惯性定理，任何一个实二次型都可以通过可逆的线性变换，化为一种唯一确定的标准形式，称为规范形：f = y₁² + y₂² + … + yₚ² - yₚ₊₁² - … - yᵣ² 。
正惯性指数 §：指规范形中系数为正1的平方项的个数。它同时也等于二次型对应矩阵的正特征值的个数​ 。
负惯性指数 (q)：指规范形中系数为负1的平方项的个数。它同时也等于二次型对应矩阵的负特征值的个数​ 。
惯性定理指出，无论你通过何种可逆线性变换将二次型化为规范形，正惯性指数 p 和负惯性指数 q 都是固定不变的​ 。并且，两者之和等于二次型的秩​(r），即 p + q = r 。
通过配方逐步消去混合项（交叉项）

1. 集中含某个变量的项；
2. 配方引入新变量；
3. 重复直至无混合项 直观，易于掌握，不依赖矩阵运算 过程可能繁琐，所得变换矩阵不一定是正交矩阵
   
   

合同变换法

对二次型矩阵及其单位矩阵做同步的初等行、列变换 1. 构造增广矩阵 [A; I]；2. 对A做初等行/列变换时，对单位矩阵只做相应的列变换 具有系统性，可以同时求出所用的可逆变换矩阵 需要记录变换过程，得到的标准形一般不唯一

正交变换法

依据正交变换（由特征向量构建）进行对角化

1. 写二次型矩阵A；
2. 求A的特征值；
3. 求特征向量并正交单位化；
4. 构造正交矩阵P 标准形系数为特征值，几何意义清晰，不改变图形形状 计算特征值和特征向量可能复杂，标准形唯一（由特征值决定）

✨ 掌握正交变换的步骤

使用正交变换法化二次型为标准形，关键在于找到合适的正交矩阵。具体步骤如下：

1. 写出二次型的矩阵A：将二次型$f(x_1,x_2,...,x_n)=x^{T}Ax$ n 阶实对称矩阵。就是表示为矩阵形式，其中 A

2. 求矩阵A的特征值和特征向量：解特征方程$\lambda E-A=0$，求出所有特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$。对于每个特征值${\lambda }_i$，求解齐次线性方程组$({\lambda }_{i}E-A)x=0$得到对应的特征向量。

3. 将特征向量正交化和单位化：
   ◦ 对于不同特征值对应的特征向量，它们已经是正交的。

   ◦ 对于重特征值对应的多个特征向量，可能得使用施密特（Schmidt）正交化方法将其化为正交向量组。

   ◦ 将所有特征向量单位化。

4. 构造正交矩阵P：将经过步骤3处理后的单位正交特征向量作为列向量，构成正交矩阵 P。正交矩阵满足$P^{-1}=P^T$ 。

5. 进行正交变换：令$x=Py$，其中 y 是新变量向量。将此变换代入二次型，得到标准形：$f=x^{T}Ax=(Py{)}^{T}A(Py)=y^T(P^{T}AP)y=y^T\Lambda y={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+...+{\lambda }_n{y}_n^2$。这里 $\Lambda$是由 A 的特征值组成的对角矩阵。

正定二次型