3Blue1Brown《线性代数的本质》矩阵与线性变换 - 指南

这是3Blue1Brown《线性代数的本质》系列核心的一集，聚焦于二维平面的变换。强烈建议视频和本文结合着一起理解。

1、如何理解线性变换

1.1 几何视角

想象在一个充满点的二维平面，线性变换是一套移动所有点的规则，但这个移动要遵守特定的规则：

• 所有直线都应保持直线
• 原点必须保持固定
• 保持网格线平行且等距

线性变换会“线性地”扭曲（翻转、旋转、拉扯）这个网格，但不会弯曲直线或移动原点。

1.2 其它直观感受

比如有一张图片，对图片进行旋转、缩放处理。

2、矩阵

• 二维空间中的任何线性变换，都可以通过观察基向量的变化来完全描述。
• 当给出一个向量坐标时，线性变换后，如何算出这个向量的落点坐标。只要计算两个基向量i和j各自的落点，其它一切就推导得出。

矩阵推导过程：
在一个二维标准系中，基向量是$\hat{i}$ 和$\hat{j}$
$$\hat{i}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\hat{j}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$
现在有某种线性变换作用在整个空间上，我们记录基向量分别落在：
$$\hat{i}=\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right],\hat{j}=\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$$

把这两个新的基向量并排放在一起，就得到了描述这个变换的矩阵：
$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$
第一列 [a, c] 是新的$\hat{i}$的位置
第二列 [b, d]是新的$\hat{j}$的位置

线性变换的“动作说明书”。看到矩阵，不应该只看到一堆数字，而应该立刻在脑中浮现出它如何拉扯、旋转、挤压整个空间的动画。就是那么可以这么理解：矩阵

3、计算一个向量经过变换后的位置

通过现在已经知道变换后的基向量在哪，那么任何一个向量的变换结果都能够经过“线性组合”推导出来。

在3Blue1Brown《线性代数的本质》线性组合、张成空间与基 中已知道：

$\hat{i}$ 和 $\hat{j}$这两个向量构成了坐标系的基。基向量是理解和测量向量世界的“根本单位”，任意二维向量$[x,y]$ 可写为：
$$x\hat{i}+y\hat{j}$$

线性的，它保持了加法和数乘的关系。因此，变换后的该向量就等于：就是由于变换
x * (新的$\hat{i}$) + y * (新的$\hat{j}$)，那就是：
$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right]$$

4、常见的线性变换

变换类型	几何效果	基向量变化	变换矩阵	说明
恒等变换	无任何改变，向量保持原位	$$\hat{i}\to \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\hat{j}\to \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$	$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$	单位矩阵，不进行任何操作
水平拉伸（因子 k）	沿 x 轴拉伸 k 倍	$$\hat{i}\to \left[\begin{array}{c}k\\ 0\end{array}\right],\hat{j}\to \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$	$$\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$	若 k=2，则图形变宽一倍
垂直拉伸（因子 k）	沿 y 轴拉伸 k 倍	$$\hat{i}\to \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\hat{j}\to \left[\begin{array}{c}0\\ k\end{array}\right]$$	$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& k\end{array}\right]$$	图形被纵向拉长
均匀缩放（因子 s）	整体放大或缩小 s 倍	$$\hat{i}\to \left[\begin{array}{c}s\\ 0\end{array}\right],\hat{j}\to \left[\begin{array}{c}0\\ s\end{array}\right]$$	$$\left[\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right]$$	相当于乘以标量 s
90° 逆时针旋转	所有向量逆时针转 90°	$$\hat{i}\to \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],\hat{j}\to \left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]$$	$$\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$$	是正交变换，保持长度不变
θ 角度旋转	绕原点逆时针旋转 θ 弧度	$$\hat{i}\to \left[\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right],\hat{j}\to \left[\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right]$$	$$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$	旋转矩阵是标准公式
关于 x 轴反射	上下翻转	$$\hat{i}\to \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\hat{j}\to \left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$$	$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$	y 坐标取反
关于 y 轴反射	左右翻转	$$\hat{i}\to \left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right],\hat{j}\to \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$	$$\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$	x 坐标取反
剪切变换（Shear）	水平“倾斜”	$$\hat{i}\to \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\hat{j}\to \left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$	$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$$	网格仍平行，但角度改变
投影到 x 轴	所有点压到 x 轴上	$$\hat{i}\to \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\hat{j}\to \left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$$	$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$	非可逆变换，信息丢失