实用指南：正交线性阵列乘积波束成形算法详解

正交线性阵列乘积波束成形算法详解

算法概述

本算法提出了一种用于实时水下三维声学成像的新型波束成形方法，结合了L形正交线性阵列和乘积波束成形技术，旨在显著降低计算复杂度并提高成像速度。

---

一、算法核心原理

1. 阵列结构设计

• 传统方法：采用均匀平面阵列（Uniform Planar Array, URA），传感器数量为$M\times N$
• 本文方法：利用四个线性阵列分别位于矩形平面阵列的四条边上，形成"L形"正交阵列（Edge L-Shaped Array, ELSA）
• 传感器数量：从 $M\times N$ 减少到 $2(M+N)$，大幅降低硬件和计算负担

2. 波束成形策略

• 将三维成像平面划分为四个象限（I、II、III、IV）
• 每个象限利用两个正交线性阵列（一个水平、一个垂直）进行独立二维波束成形
• 两个方向的波束成形结果相乘，再取平方根，得到该像素点的最终波束值

3. 乘积波束成形的优势

• 本质上是两个正交阵列信号的互相关运算
• 能够增强目标信号、抑制背景噪声
• 由于L形阵列的不对称性，旁瓣被限制在目标所在象限，减少了多目标模糊问题

---

二、算法公式推导

1. 坐标与符号定义

• 成像平面位于$Z=0$
• 传感器位置：$(x_m,y_n,0)$
• 目标方向：方位角$\alpha$，俯仰角 $\beta$
• 方向单位向量：
  $$\hat{u}=(\sin \alpha ,\sin \beta ,\sqrt{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\beta })$$

2. 延迟计算

• 精确延迟公式（近场）：
  $$\tau \left(m,n,r_0,{\alpha }_p,{\beta }_q\right)=\frac{r_0-\sqrt{r_0^2+x_m^2+y_n^2-2x_m{r}_0\sin {\alpha }_p-2y_n{r}_0\sin {\beta }_q}}{c}$$
• 远场近似延迟（满足$r_0>\frac{D^2}{2\lambda }$）：
  $$\tau \left(m,n,{\alpha }_p,{\beta }_q\right)=\frac{x_m\sin {\alpha }_p+y_n\sin {\beta }_q}{c}$$
  其中 $c$ 为声速

3. 水平和垂直波束成形

• 水平方向波束成形：
  $$B_H\left(r_0,{\alpha }_p,{\beta }_q,t\right)=\sum _{m=1}^M{W}_{m,n_{sel}}{S}_{m,n_{sel}}(t-\tau \left(m,n_{sel},r_0,{\alpha }_p,{\beta }_q\right))$$
• 垂直方向波束成形：
  $$B_V\left(r_0,{\alpha }_p,{\beta }_q,t\right)=\sum _{n=1}^N{W}_{m_{sel},n}{S}_{m_{sel},n}(t-\tau \left(m_{sel},n,r_0,{\alpha }_p,{\beta }_q\right))$$
  其中：
  • $S_{m,n}(t)$ 为传感器 $(m,n)$ 接收的信号
  • $W_{m,n}$为加权系数（本文使用矩形窗，即等权重）

4. 乘积波束成形

• 最终波束信号：
  $$B_k\left(r_0,{\alpha }_p,{\beta }_q,t\right)=\frac{1}{MN}\sqrt{B_H\left(r_0,{\alpha }_p,{\beta }_q,t\right)\times B_V\left(r_0,{\alpha }_p,{\beta }_q,t\right)}$$
• 展开形式：
  $$B_k\left(r_0,{\alpha }_p,{\beta }_q,t\right)=\frac{1}{MN}\sqrt{\sum _{m=1}^M\sum _{n=1}^N\left(W_{m,n_{sel}}{W}_{m_{sel},n}{S}_{m,n_{sel}}\left(t-{\tau }_{m,n_{sel}}\right)S_{m_{sel},n}\left(t-{\tau }_{m_{sel},n}\right)\right)}$$

---

三、构建过程

步骤1：信号预处理

1. 匹配滤波：提高信噪比（SNR）
   • 滤波器响应为发射信号的共轭时间反转形式
   • 增强已知信号，抑制噪声
2. 时间增益补偿（TGC）：补偿深度引起的信号衰减

步骤2：象限划分与L形阵列选择

• 将成像平面分为四个象限（I、II、III、IV）
• 每个象限选择对应的正交线性阵列：
  • 象限I：水平阵列H2 + 垂直阵列V2
  • 象限II：水平阵列H1 + 垂直阵列V2
  • 象限III：水平阵列H1 + 垂直阵列V1
  • 象限IV：水平阵列H2 + 垂直阵列V1

步骤3：并行二维波束成形

• 对每个象限，同时进行水平和垂直方向的延迟求和波束成形
• 使用线性插值计算非整数延迟对应的信号值
• 水平波束成形使用选定列的所有传感器
• 垂直波束成形使用选定行的所有传感器

步骤4：乘积运算与图像合成

• 将两个方向的波束结果相乘并取平方根
• 将所有象限的波束结果组合成完整的二维成像切片
• 通过堆叠不同距离的二维切片形成三维图像

步骤5：后处理

1. k-means聚类分割：提取目标区域
   • 选择具有最大平均强度的簇
   • 生成二值图像
2. 扫描转换：将极坐标图像转换为笛卡尔坐标系
   • 定义新的笛卡尔成像网格
   • 执行笛卡尔到极坐标转换
   • 进行三线性插值
3. 三维体积渲染：使用 voxelPlot 等工具可视化

---

四、性能分析

1. 点扩散函数（PSF）分析

• 主瓣宽度（MLW）：减少 $1^{\circ }$，提高角度分辨率
• 峰值旁瓣电平（PSLL）：增加 $11.8\text{dB}$，但旁瓣被限制在象限内
• 不对称性：ELSA的PSF具有不对称性，解决了交叉阵列的多目标模糊挑战

2. 计算复杂度比较

方法	加法操作数	乘法操作数	总操作数
时域DAS	$N_b^2(N^2-1)$	$N_b^2{N}^2$	$O(N_b^2{N}^2)$
频域DM	$L(8N^2-2)N_b^2$	包含在FFT/IFFT中	$O(L{N}_b^2{N}^2)$
CZT	$6L[N^2+N_b^2+L^2]+20L^3{\log }_2(L)$	包含在变换中	$O(L^3\log L)$
本文方法	$4N{N}_b^2$	$4N{N}_b^2$	$O(N{N}_b^2)$

3. 计算时间比较（60×60波束）

方法	计算时间（秒）	相对加速比
时域DAS	基准	1×
频域DM	不可行（宽带信号）	-
CZT	204×基准时间	0.0049×
本文方法	基准/97	97×

4. 分辨率性能

• 角度分辨率：${\theta }_{\text{res}}\approx \frac{60\lambda }{D}$
• 沿轨迹分辨率：$r_{\text{along track}}=r{\theta }_{\text{res}}$
• 距离分辨率：$r_{\text{range}}=\frac{c}{\Delta f}$

---

五、实验验证

1. 仿真实验（k-Wave工具箱）

• 目标建模：正方形和L形钢制目标
• 阵列参数：24×24均匀平面阵列，半波长间距
• 信号参数：中心频率500 kHz，带宽200 kHz
• 结果：本文技巧与传统技巧成像质量相当，计算时间大幅减少

2. 实物实验（声学水槽）

• 实验装置：96元均匀线性阵列垂直移动模拟平面阵列
• 测试目标：
  1. 立方体目标
  2. 空心钢球和圆柱组合目标
• 成像范围：0.6米
• 结果对比：
  • 立方体目标：
    • 传统方法：3056秒
    • 本文方法：31.36秒（加速97倍）
  • 钢球圆柱目标：
    • 传统方法：3523.5秒
    • 本文方法：35.99秒（加速98倍）

---

六、总结

主要贡献

1. 新型阵列设计：提出边缘L形阵列（ELSA），传感器数量减少至$2(M+N)$
2. 乘积波束成形算法：时域实现，计算复杂度显著降低
3. 象限并行处理：四个象限可并行重建，进一步加速
4. 解决多目标模糊：利用不对称PSF特性，避免交叉阵列的模糊疑问

性能特点

• 计算加速：比传统时域DAS快97倍
• 分辨率提升：主瓣宽度减少1°
• 旁瓣控制：旁瓣增加11.8 dB，但限制在象限内，可利用阈值处理
• 实时性：适合AUV障碍物检测等实时应用

应用前景

• 自主水下航行器（AUV）导航与避障
• 水下结构检测与监测
• 海洋资源勘探
• 水下目标识别与分类

---

参考文献
Menakath M M, Panicker M R, Hareesh G. Orthogonal Linear Array based Product Beamforming for Real Time Underwater 3D Acoustical Imaging[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering, 2023.