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一、前言
开篇直指：从开环到闭环，为什么最后都走向 PID
1.1 自动控制里，架构大致分两类
1）开环控制（Open-loop）
只根据“事先算好的指令”去执行，不看结果。
开环控制示意图：
2）闭环控制（Closed-loop）
一边执行，一边“看结果、算偏差、再纠正”。
闭环控制示意图：
在几乎所有闭环控制系统中，只要是单输入单输出、目标是“跟着设定值走”，都会碰到一个经典算法：PID 控制。
3）PID 的三部分含义
P（Proportional，比例）：按误差大小“成比例”给控制量
I（Integral，积分）：累计误差，消除长期偏差
D（Derivative，微分）：看误差“变化趋势”，提前刹车、抑制过冲
PID控制示意图：
PID 的厉害之处在于：只靠这三个容易算子，就能把绝大多数工业对象调得“又快又准、还凑合稳”，而且建立简单，工程师可以靠经验就调出不错的效果，所以至今仍然是工业控制里的绝对主角。
二、开环控制（只有计划，没有纠偏）
2.1 小明蒙眼走路：典型的开环
小明被蒙上眼睛，需要从起点走到 10 米外的目标旗帜。
他的大脑先“算好”——比如自己每步 0.8 米，想走 10 米，大概要走 12~13 步。
然后他闭着眼，一口气走完这些步数。
1）从控制角度看：
Input（输入）：目标距离 10 m
Controller（控制器）：小明大脑——算步数 N
Process（被控对象）：腿——执行 N 步
没有 Feedback（反馈）：中途不看自己走到哪了
2）问题：
小明步长并不是每次都一样；
地面可能有坡度、摩擦不同；
中间可能踩偏了一点方向。
所以最后停下来的位置，很大概率不是 10 m 精准位置某个偏离目标的点就是，而
开环控制的特点：
计算一次 → 执行到底 → 过程中不纠错
优点：简单、快速、成本低
缺点：完全不能自动纠偏，对干扰和模型误差非常敏感
三、闭环控制
看一眼结果再决定下一步
3.1 小明重见光明：闭环的引入
通过现在把小明眼罩摘掉，让他能够随时看到目标和自己所在的位置：
目标告诉他：“旗子在 10 米处” →给定值 r
小明走了一会儿，低头一看：“现在大概在 2 米位置” →当前输出 y
计算误差：
e=r−y=10−2=8 me = r - y = 10 - 2 = 8\text{ m}e=r−y=10−2=8 m大脑根据误差 e 再算下一段要走多少步 →控制量 u
再走一段 → 再看 → 再算误差 → 如此循环
1）典型的闭环结构：
输入 r：目标位置
输出 y：实际位置
误差 e = r - y
控制器 C：根据 e 计算控制量 u
被控对象 G：腿+身体，接收控制量 u，产生新输出 y
反馈：把 y 量出来（眼睛/传感器），送回去参与下一次计算
用一句话概括闭环：
“我知道我在哪儿、我要去哪儿，因此能不断调整自己。”
四、PID 控制器：闭环大脑的“标准算法”
4.1 标准 PID 数学形式
在闭环里，控制器就是“把误差变成控制量”的算法。
PID 的连续时间形式写成：
e(t)=r(t)−y(t)：瞬时误差
u(t)：控制器输出（给执行器的命令，比如电机电压、转矩指令等）
Kp：比例增益
Ki：积分增益
Kd：微分增益
控制器的块图可以画成：
误差 e(t) →【比例块 Kp】
→【积分块 Ki / s】
→【微分块 Kd · s】
三者相加 → 得到总控制量 u(t)
五、把 PID 放回小明故事里
还是那件事：小明要从 0 走到 10 m，设：
目标 r = 10（固定）
当前距离 y(t)：小明实际走出去的位置
误差 e(t) = r - y(t)：还差多少没走到
5.1 比例 P：
误差大的时候冲刺，误差小了就慢下来
设小明用纯 P 控制：
通俗一点解释：
刚起步时，误差 10 m 很大→ 误差 u 也很大 → 小明跑得比较快；
当他走到 9 m 附近时，误差变成 1 m → u 变小 → 他会自动放慢脚步。
优点：
响应直观简单：偏差大就“踩油门”，偏差小就松一点；
响应快：稍微增大 Kp，小明就跑得更积极。
缺点：
只用 P，一般会留下“稳态误差”：
比如，走到 9.7 m 时，误差只有 0.3 m，产生的控制量可能不够大，小明“懒得再迈完整一步”，最后就停在 9.7 m 左右，不会精确到 10 m。Kp 调太大，系统容易震荡甚至发散（小明来回跨大步，走过头再往回走）。
5.2 积分 I
不允许长期偏差，迟早要把账算清
积分项：
它干的事是：把误差随时间累加。哪怕误差很小，只要时间够久，积分值也会变大，最终产生足够的控制量，把误差“压到 0”。
在小明的比喻里：
如果他一直停在 9.7 m，不往前挪，说明还有 0.3 m 的误差；
积分项会一直累加这个 0.3 m；
再迈一小步；就是累到一定程度，就相当于“大脑突然意识到：好像还有点距离没走够”，于
这样就消除了 P 控制留下的稳态误差，让最终位置真的靠近 10 m。
优点：
消除稳态误差：确保长时间后误差趋近于 0。
缺点（入门先感性认识）：
对误差累得太狠会“超调”：走过头再回来；
出现所谓“积分饱和”：长期大误差时代码里积分累太大，即使后面误差变 0 或反号，积分项还会拖后腿，导致系统要很久才能拉回来。
5.3 微分 D：
提前刹车，抑制过冲
微分项：
代表误差变化的斜率。它关心的是：
“误差是在快速变小，还是变大？变化速度有多快？”
当小明离目标还有一点点距离时，误差 e 哪怕不大，但下降得很快（走得很急），
此时 de/dt <0，因此：
PID 总输出：
其中 uD 把总输出往下拉（相当于踩刹车）。
：在接近目标前，系统自动“减速”，从而就是结果就抑制过冲。
直观理解：
P：看到“你离目标还差 3 m”，所以踩油门；
D：看到“你靠近目标的速度太快了”，所以告诉你“赶紧松油门甚至踩刹车”。
优点：
抑制过冲，改善动态性能；
在变化剧烈的时候给出“刹车信号”。
缺点：
对噪声敏感：微分本质上是“高频放大器”，传感器有微小抖动时，D 项可能疯狂抖动，于是工程上一般不会给 Kd 调太大，还会加滤波。
六、P / I / D 三者分工（图表）
| 环节 | 数学形式 | 核心作用 | 优点 | 典型副作用 |
|---|---|---|---|---|
| P | Kp * e | 误差越大，动作越大 | 结构简单、响应速度快 | 稳态误差难以消除，Kp 大会振荡 |
| I | Ki * ∫edt | 对误差进行积累 | 消除稳态误差 | 易产生超调、振荡、积分饱和 |
| D | Kd * de/dt | 看误差变化趋势 | 抑制过冲，改善动态性能 | 对噪声敏感，Kd 过大会抖动 |
配合一句好记的总结：
P 决定“敢不敢冲”，I 决定“冲到准不准”，D 决定“要不要刹车”。
七、总结
学习完本章，应该能够解决：
画出基本闭环结构图
能指出：参考输入 r、被控量 y、误差 e、控制器 C(s)、被控对象 G(s)、反馈环节。写出标准 PID 公式
连续形式：
用“小明走 10 m”的故事，口头讲清楚 P / I / D 如何影响运动过程
只用通俗语言，也能讲清楚：
只有 P：会快，但可能停在 9 m 或 9.5 m，收不回来。
加了 I：能慢慢推到 10 m，误差被“算总账”消了掉。
加了 D：快到 10 m 前提前减速，不会冲到 11 m 再回来。
直觉上理解“参数调大/调小”会发生什么
Kp 太小：慢吞吞、软趴趴；Kp 太大：快但容易晃。
Ki 太小：残余误差消不干净；Ki 太大：超调、振荡更明显。
Kd 合适：曲线更平顺；Kd 过大：噪声放大，抖动明显。
本文参考：
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