【矩阵分析】λ-矩阵化为Smith标准形 - 教程

求解题目：

一、相关知识点

1. λ-矩阵（多项式矩阵）

定义：

λ-矩阵是指元素为λ的多项式的矩阵，形如：
$$A(\lambda )=[a_{ij}(\lambda ){]}_{m\times n}$$
其中每个 $a_{ij}(\lambda )$ 都是关于$\lambda$ 的多项式。

含义：

• 代数意义：可以看作是普通矩阵的推广，其中元素从数域扩展到了多项式环
• 几何意义：在系统理论中，λ-矩阵常用于描述线性时不变架构的传递函数矩阵
• 应用背景：在控制理论、振动分析、电路理论等领域有广泛应用

特点：

• 可以进行类似普通矩阵的运算（加法、乘法）
• 数就是但行列式的值是一个多项式，而不

2. Smith标准形

定义：

对于任意λ-矩阵$A(\lambda )$，存在可逆的λ-矩阵$P(\lambda )$ 和 $Q(\lambda )$，使得：
$$P(\lambda )A(\lambda )Q(\lambda )=\text{diag}(d_1(\lambda ),d_2(\lambda ),\dots ,d_r(\lambda ),0,\dots ,0)$$
其中：

• $d_i(\lambda )$是首一多项式（最高次项系数为1）
• $d_i(\lambda )\mid d_{i+1}(\lambda )$（整除关系）
• $r$ 是 $A(\lambda )$ 的秩

补充：整除的定义

• 对于多项式：设 $f(\lambda )$ 和 $g(\lambda )$是两个多项式，且$g(\lambda )\ne 0$。假设存在另一个多项式$h(\lambda )$ 使得：
  $$f(\lambda )=g(\lambda )\cdot h(\lambda )$$
  则称 $g(\lambda )$整除$f(\lambda )$ ，记作 $g(\lambda )\mid f(\lambda )$。否则，称$g(\lambda )$ 不整除 $f(\lambda )$ 。

在λ-矩阵的Smith标准形中，对角线上的非零元素称为不变因子，记作 $d_1(\lambda ),d_2(\lambda ),\dots ,d_r(\lambda )$，它们必须满足整除关系：
$$d_1(\lambda )\mid d_2(\lambda )\mid \cdots \mid d_r(\lambda )$$
这意味着：
-$d_1(\lambda )$整除 $d_2(\lambda )$，

• $d_2(\lambda )$ 整除 $d_3(\lambda )$ ，
• 依此类推，直到$d_{r-1}(\lambda )$ 整除 $d_r(\lambda )$

几何意义：

• 标准化：将复杂的λ-矩阵转化为最方便的对角形式
• 不变量：Smith标准形揭示了矩阵的本质特征，是矩阵在相似变换下的完全不变量
• 结构分析：对角线元素反映了系统的模态结构和动态特性

重要性：

• 唯一性：每个λ-矩阵有唯一的Smith标准形
• 完全分类：两个λ-矩阵等价当且仅当它们有相同的Smith标准形

3. 初等变换

三种基本类型：

1. 交换变换：交换两行（或两列）

   • 对应左乘（或右乘）置换矩阵
   • 不改变矩阵的代数结构

2. 倍乘变换：某行（或列）乘以非零常数

   • 对应左乘（或右乘）对角矩阵
   • 保持多项式关系不变

3. 消去变换：某行（或列）乘以多项式后加到另一行（或列）

   • 对应左乘（或右乘）单位矩阵的推广
   • 这是最核心的变换，用于化简矩阵

数学含义：

• 等价关系：初等变换定义了λ-矩阵的等价关系
• 可逆性可逆的就是：每个初等变换都
• 不变量保持：初等变换不改变矩阵的行列式因子、不变因子等关键不变量

4. 不变因子与行列式因子

行列式因子：

k 阶行列式因子$D_k(\lambda )$是矩阵所有 k 阶子式的首一最大公因式。其中$D_0(\lambda )=1$

不变因子：

从行列式因子可以计算出不变因子：
$$d_1(\lambda )=\frac{D_1(\lambda )}{D_0(\lambda )},d_2(\lambda )=\frac{D_2(\lambda )}{D_1(\lambda )},\dots$$
其中 $D_0(\lambda )=1$

关系：

• 不变因子就是Smith标准形对角线上的非零元素
• 整除关系 $d_i(\lambda )\mid d_{i+1}(\lambda )$保证了标准形的唯一性

---

二、Smith 标准形的求解技巧

1. 用初等变换求λ-矩阵的 Smith 标准形

基本思路

通过对λ-矩阵进行初等行变换和初等列变换，逐步将矩阵化为对角形，并调整对角线元素使得后一个整除前一个，最终得到 Smith 标准形。

对$A(\lambda )$用初等变换化为 Smith 标准形时，根据$A(\lambda )$的特点，共有 2 种情况：
（1）$A(\lambda )$的元素有公因子；
（2）$A(\lambda )$的元素无公因子。
对第（1）种情况，可以用初等变换将左上角元素变换成公因子，以便进一步化简；对第（2）种情况，若$A(\lambda )$的元素至少有一个非零常数，可利用非零常数进行化简；若无非零常数，可用初等变换先将某个元素化为非零常数，再利用非零常数化简。

核心步骤

第一步：进行初等变换

• 允许三种初等行变换和三种初等列变换：
  • 交换变换：交换两行或两列。
  • 倍乘变换：用非零常数乘以某一行或某一列。
  • 倍加变换：将某一行（列）乘以一个多项式后加到另一行（列）上。
• 目标是通过这些变换，将矩阵化为对角形，且对角线元素满足整除关系。

第二步：化左上角元素为最小

• 通过行交换和列交换，将矩阵中次数最低的非零元素移动到左上角（1,1）位置。
• 检查左上角元素是否能整除第一行和第一列的所有其他元素：
  • 倘若不能整除，则找到不能被整除的元素，采用多项式除法或行/列变换来减少左上角元素的次数或调整元素。
  • 具体操作：例如，如果第一列某个元素不能被左上角元素整除，则用该元素除以左上角元素得到余数，继而凭借行变换将余数移动到左上角位置，重复直到左上角元素能整除第一行和第一列的所有元素。

第三步：消去第一行和第一列的非对角元素

• 利用左上角元素，消去第一行和第一列的其他所有元素（使其为零）：
  • 对于第一行：将第一列乘以适当多项式后加到其他列，使第一行其他元素为零。
  • 对于第一列：将第一行乘以适当多项式后加到其他行，使第一列其他元素为零。
• 此时，矩阵变为：
  $$\left[\begin{array}{cccc}{d}_1(\lambda )& 0& \cdots & 0\\ 0& & & \\ ⋮& & B(\lambda )& \\ 0& & & \end{array}\right]$$
  其中 $B(\lambda )$是右下角的子矩阵。

第四步：递归处理子矩阵

• 对子矩阵 $B(\lambda )$重复步骤二和三，直到整个矩阵化为对角形。
• 在递归过程中，确保每次处理后的左上角元素能整除子矩阵中所有元素。

第五步：调整对角线元素以满足整除关系

• 在对角形矩阵中，检查每个对角线元素是否能整除下一个对角线元素：
  • 如果不能，需要凭借行变换或列变换进行调整。例如，交换两行或两列，或者应用倍加变换来改变对角线元素。
• 最终，通过倍乘变换（乘以非零常数）使每个对角线元素为首一多项式（即最高次项系数为1）。
• 最终得到的矩阵就是 Smith 标准形：
  $$\left[\begin{array}{ccccc}{d}_1(\lambda )& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& d_2(\lambda )& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& d_3(\lambda )& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & d_r(\lambda )\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]$$
  其中 ( r ) 是矩阵的秩，且$d_1(\lambda )\mid d_2(\lambda )\mid \cdots \mid d_r(\lambda )$

2. 用行列式因子求λ-矩阵的 Smith 标准形

基本思路

通过计算矩阵的各阶行列式因子，继而推导出不变因子，从而直接得到 Smith 标准形。

核心步骤

第一步：计算各阶行列式因子

• 计算矩阵 $A(\lambda )$ 的所有 k 阶子式
• 求这些 k 阶子式的首一最大公因式，即为 k 阶行列式因子$D_k(\lambda )$
• 对 k = 1, 2, …, r (其中 r 是$A(\lambda )$的秩) 重复此过程，并规定$D_0(\lambda )=1$。
  • 一阶行列式因子D₁(λ)：所有一阶子式（即单个元素）的首一最大公因式
  • 二阶行列式因子D₂(λ)：所有二阶子式（2×2子矩阵行列式）的首一最大公因式
  • 三阶行列式因子D₃(λ)：所有三阶子式（3x3子矩阵行列式）的首一最大公因式
  • 以此类推…

第二步：求不变因子

• 通过相邻阶数的行列式因子相除，得到不变因子$d_k(\lambda )$：
  $$d_k(\lambda )=\frac{D_k(\lambda )}{D_{k-1}(\lambda )},k=1,2,...,r$$
• 这些不变因子$d_1(\lambda ),d_2(\lambda ),...,d_r(\lambda )$就是 Smith 标准形中主对角线上的非零元素，且满足后一个整除前一个的性质。
  • -d₁(λ) = D₁(λ)
  • d₂(λ) = D₂(λ) / D₁(λ)
  • d₃(λ) = D₃(λ) / D₂(λ)
  • …

第三步：写出 Smith 标准形
将不变因子按顺序排列在对角线上：
$$\left[\begin{array}{ccc}{d}_1(\lambda )& 0& 0\\ 0& d_2(\lambda )& 0\\ 0& 0& d_3(\lambda )\end{array}\right]$$

---

三、例题具体求解方法

1. 解法一：初等变换法

（1）具体解题步骤

通过一系列初等行变换和列变换，将$A(\lambda )$化为 Smith 标准形。详细步骤如下：

1. 行变换：$R_2\leftarrow R_2+R_1$
   目的：简化第二行。
   变换后矩阵：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & {\lambda }^2& \lambda \\ 1& {\lambda }^2+\lambda & 0\\ 1+{\lambda }^2& {\lambda }^2& -{\lambda }^2\end{array}\right]$$

2. 行交换：交换 $R_1$ 和 $R_2$
   目的：使左上角元素为 1。
   变换后矩阵：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& {\lambda }^2+\lambda & 0\\ 1-\lambda & {\lambda }^2& \lambda \\ 1+{\lambda }^2& {\lambda }^2& -{\lambda }^2\end{array}\right]$$

3. 行变换：$R_2\leftarrow R_2-(1-\lambda )R_1$ 和 $R_3\leftarrow R_3-(1+{\lambda }^2)R_1$
   目的：消除第一列的其他元素。
   变换后矩阵：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& {\lambda }^2+\lambda & 0\\ 0& {\lambda }^3+{\lambda }^2-\lambda & \lambda \\ 0& -{\lambda }^4-{\lambda }^3-\lambda & -{\lambda }^2\end{array}\right]$$

4. 列变换：$C_2\leftarrow C_2-({\lambda }^2+\lambda )C_1$
   目的：消除第一行第二列元素。
   变换后矩阵：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& {\lambda }^3+{\lambda }^2-\lambda & \lambda \\ 0& -{\lambda }^4-{\lambda }^3-\lambda & -{\lambda }^2\end{array}\right]$$

5. 列变换：$C_1\leftarrow C_1-({\lambda }^2+\lambda -1)C_2$（在右下角 2×2 子矩阵中操作）
   目的：简化右下角子矩阵。
   变换后矩阵：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& \lambda \\ 0& -\lambda (1+\lambda )& 0\end{array}\right]$$

6. 列交换：交换 $C_2$ 和 $C_3$
   目的：使子矩阵左上角非零。
   变换后矩阵：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& -\lambda (1+\lambda )\end{array}\right]$$

7. 行变换：$R_3\leftarrow -R_3$
   目的：使第三行第三列元素为首一多项式。
   变换后矩阵：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda (1+\lambda )\end{array}\right]$$

最终 Smith 标准形为：
$$S(\lambda )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda (1+\lambda )\end{array}\right]$$
其中 $d_1(\lambda )=1$, $d_2(\lambda )=\lambda$, $d_3(\lambda )=\lambda (1+\lambda )$，满足 $d_1\mid d_2$ 和$d_2\mid d_3$。

（2）手写解题过程

2. 解法二：行列式因子法

（1）具体解题步骤

通过计算行列式因子和不变因子得到 Smith 标准形。详细步骤如下：

1. 计算矩阵的秩
计算行列式：
$$\det (A(\lambda ))=\det \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & {\lambda }^2& \lambda \\ \lambda & \lambda & -\lambda \\ 1+{\lambda }^2& {\lambda }^2& -{\lambda }^2\end{array}\right]=-{\lambda }^2(\lambda +1)$$
行列式非零，因此秩 (r = 3).

2. 计算行列式因子

(1) 计算$D_0(\lambda )$
$D_0(\lambda )=1$（定义）

(2) 计算一阶行列式因子$D_1(\lambda )$
$D_1(\lambda )$是所有一阶子式（即矩阵元素）的首一最大公因式
元素有：$1-\lambda ,{\lambda }^2,\lambda ,\lambda ,\lambda ,-\lambda ,1+{\lambda }^2,{\lambda }^2,-{\lambda }^2$
这些多项式的最大公因式为 1，故 ($D_1(\lambda )=1$

(3) 计算二阶行列式因子$D_2(\lambda )$
$D_2(\lambda )$是所有二阶子式的首一最大公因式
计算所有二阶子式的行列式（略去零子式）：

• 行 1-2:$\lambda -{\lambda }^2-{\lambda }^3$ , $-\lambda$ , $-{\lambda }^3-{\lambda }^2$
• 行 1-3:$-{\lambda }^3-{\lambda }^4$, $-{\lambda }^2-\lambda$, $-{\lambda }^4-{\lambda }^3$
• 行 2-3:$-\lambda$, $\lambda$

这些行列式都含有因子$\lambda$，且括号内多项式的最大公因式为 1，故$D_2(\lambda )=\lambda$

(4) 计算三阶行列式因子$D_3(\lambda )$
$D_3(\lambda )$是矩阵的行列式
计算 det$A(\lambda )$:
$$\det \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & {\lambda }^2& \lambda \\ \lambda & \lambda & -\lambda \\ 1+{\lambda }^2& {\lambda }^2& -{\lambda }^2\end{array}\right]=-{\lambda }^3-{\lambda }^2=-{\lambda }^2(\lambda +1)$$
取首一形式，故$D_3(\lambda )={\lambda }^2(\lambda +1)$

3. 计算不变因子
$$\begin{array}{rl}{d}_1(\lambda )& =\frac{D_1(\lambda )}{D_0(\lambda )}=\frac{1}{1}=1,\\ d_2(\lambda )& =\frac{D_2(\lambda )}{D_1(\lambda )}=\frac{\lambda }{1}=\lambda ,\\ d_3(\lambda )& =\frac{D_3(\lambda )}{D_2(\lambda )}=\frac{{\lambda }^2(\lambda +1)}{\lambda }=\lambda (\lambda +1).\end{array}$$

4. Smith 标准形
不变因子为 $1,\lambda ,\lambda (\lambda +1)$ ，满足$1\mid \lambda \mid \lambda (\lambda +1)$。因此矩阵 $A(\lambda )$的Smith 标准形为：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda (\lambda +1)\end{array}\right]$$

（2）代码解题过程

import sympy as sp
def compute_smith_normal_form(A):
"""
使用行列式因子法计算λ-矩阵的Smith标准形
参数:
A: sympy矩阵，包含符号变量λ的矩阵
返回:
smith_form: Smith标准形矩阵
A: 原始矩阵
"""
# 定义符号变量λ
lamda = sp.symbols('λ')
print("原始λ-矩阵 A(λ):")
# 美观打印矩阵
sp.pprint(A)
print()
# 获取矩阵维度
n, m = A.shape
print(f"矩阵维度: {n}×{m}")
print()
# 计算各阶行列式因子
determinants = []
# 计算1阶行列式因子 D1(λ)————1阶子式就是矩阵元素本身
print("1. 计算1阶行列式因子 D₁(λ):")
minors_1 = []
for i in range(n):
for j in range(m):
minors_1.append(A[i, j])
# 找到所有1阶子式的最大公因式
gcd_1 = minors_1[0]
for minor in minors_1[1:]:
# sp.gcd: 计算多项式的最大公因式
# domain='ZZ': 在整数域上进行计算
gcd_1 = sp.gcd(gcd_1, minor, domain='ZZ')
print(f"   所有1阶子式: {minors_1}")
print(f"   最大公因式 D₁(λ) = {gcd_1}")
print()
determinants.append(gcd_1)
# 计算高阶行列式因子
for k in range(2, min(n, m) + 1):
print(f"{k}. 计算{k}阶行列式因子 D_{k}(λ):")
minors_k = []
# 生成所有k阶子矩阵的组合
# 导入组合生成器，用于生成所有可能的行、列组合
from itertools import combinations
# 选择k行和k列的所有组合
# combinations(range(n), k)：
# range(n): 生成 [0, 1, 2, ..., n-1]
# combinations(序列, k): 从序列中取k个元素的所有组合
# e.g.如果 n=3, k=2
# list(combinations([0,1,2], 2)) = [(0,1), (0,2), (1,2)]
row_combinations = list(combinations(range(n), k))
col_combinations = list(combinations(range(m), k))
for rows in row_combinations:
for cols in col_combinations:
# extract(rows, cols): 从原矩阵提取指定行列的子矩阵
# det(): 计算行列式
submatrix = A.extract(rows, cols)  # 提取子矩阵
det = submatrix.det()  # 计算行列式
minors_k.append(det)
if k <= 3:  # 只显示前3阶的详细计算过程，避免输出过多
print(f"   子矩阵 {[i + 1 for i in rows]}×{[j + 1 for j in cols]} 的行列式: {det}")
# 找到所有k阶子式的最大公因式
if minors_k:
gcd_k = minors_k[0]
for minor in minors_k[1:]:
# sp.gcd(a, b): 计算a和b的最大公因式
# domain='ZZ': 指定在整数域上进行计算（多项式系数为整数）
gcd_k = sp.gcd(gcd_k, minor, domain='ZZ')
else:
gcd_k = 0
if k > 3:  # 对于高阶，只显示部分结果
print(f"   共 {len(minors_k)} 个{k}阶子式")
print(f"   最大公因式 D_{k}(λ) = {gcd_k}")
print()
determinants.append(gcd_k)
# 计算不变因子
print(f"{min(n, m) + 1}. 计算不变因子:")
def make_monic(poly, var):
"""
将多项式化为首一多项式
首一多项式：最高次项系数为1的多项式
poly: 多项式表达式
var: 符号变量（如 λ）
"""
if poly == 0:
return 0
# 提取系数
# sp.Poly(poly, var).all_coeffs():
# sp.Poly(): 将表达式转换为多项式对象
# all_coeffs(): 返回所有系数列表，按降幂排列
coeffs = sp.Poly(poly, var).all_coeffs()
if coeffs:
# 首项系数
leading_coeff = coeffs[0]
# 化为首一
monic_poly = poly / leading_coeff
# sp.simplify(monic_poly): 化简表达式
return sp.simplify(monic_poly)
return poly
# 计算不变因子 d_i(λ) = D_i(λ) / D_{i-1}(λ)
invariant_factors = []
for i in range(len(determinants)):
# 第一个不变因子: d₁(λ) = D₁(λ) （直接取1阶行列式因子）
if i == 0:
d_i = make_monic(determinants[i], lamda)
else:
# if determinants[i - 1] != 0:: 检查前一个行列式因子是否为零
# 如果为零，则当前不变因子设为0
# 如果不为零，进行多项式除法
if determinants[i - 1] != 0:
# 使用多项式除法
# sp.Poly(表达式, 变量): 创建多项式对象
# sp.div(被除数, 除数, domain='ZZ'): 多项式除法
# 返回商(quotient)和余数(remainder)
# domain='ZZ': 在整数域上进行计算
poly_current = sp.Poly(determinants[i], lamda)  # 当前行列式因子 D_i(λ)
poly_prev = sp.Poly(determinants[i - 1], lamda)  # 前一个行列式因子 D_{i-1}(λ)
quotient, remainder = sp.div(poly_current, poly_prev, domain='ZZ')
d_i = make_monic(quotient.as_expr(), lamda)
else:
d_i = 0
invariant_factors.append(d_i)
if i == 0:
print(f"   d₁(λ) = D₁(λ) = {d_i}")
else:
print(f"   d_{i + 1}(λ) = D_{i + 1}(λ)/D_{i}(λ) = {d_i}")
print()
# 验证不变因子的整除关系
print(f"{min(n, m) + 2}. 验证不变因子的整除关系:")
for i in range(1, len(invariant_factors)):
if invariant_factors[i - 1] != 0 and invariant_factors[i] != 0:
poly_prev = sp.Poly(invariant_factors[i - 1], lamda)
poly_current = sp.Poly(invariant_factors[i], lamda)
quotient, remainder = sp.div(poly_current, poly_prev, domain='ZZ')
if remainder == 0:
print(f"   ✓ d_{i}(λ) 整除 d_{i + 1}(λ)")
else:
print(f"   ✗ d_{i}(λ) 不整除 d_{i + 1}(λ)")
print()
# Smith标准形
print(f"{min(n, m) + 3}. Smith标准形:")
# 构建Smith标准形矩阵
smith_diag = []
for i in range(min(n, m)):
smith_diag.append(invariant_factors[i])
# 如果矩阵不是方阵，用0填充
if n > m:
smith_diag.extend([0] * (n - m))
elif m > n:
smith_diag.extend([0] * (m - n))
smith_form = sp.diag(*smith_diag)
print("Smith标准形为:")
sp.pprint(smith_form)
return smith_form, A
def main():
"""主函数 - 在这里自定义矩阵A"""
# 定义符号变量λ
lamda = sp.symbols('λ')
# 在这里自定义λ-矩阵
A = sp.Matrix([
[1 - lamda, lamda ** 2, lamda],
[lamda, lamda, -lamda],
[1 + lamda ** 2, lamda ** 2, -lamda ** 2]
])
print("使用行列式因子法计算λ-矩阵的Smith标准形")
print("=" * 60)
try:
smith_form, original_matrix = compute_smith_normal_form(A)
print("\n最终结果:")
print("λ-矩阵:")
sp.pprint(original_matrix)
print("\nSmith标准形:")
sp.pprint(smith_form)
except Exception as e:
print(f"计算过程中出现错误: {e}")
if __name__ == "__main__":
main()