完整教程：【你奶奶都能听懂的C语言】实战篇第10期快速幂+离散化+递归+归并排序（分治）

【你奶奶都能听懂的C语言】第10期快速幂+离散化+递归+归并排序（分治）

开头：

ok了，今天继续我们的实战篇，如标题，这一期依旧介绍算法，也会配合例题

快速幂

如其名，所谓快速幂，就是一种高效计算整数幂的算法，其核心是将幂次拆解为二进制，通过 “平方+乘法” 的组合结果，降低求 “一个数的几次方” 的时间复杂度

来看到道例题：
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通过题目要去求 a 的 b 次方，并且对结果取 p 的模，我们可以很快的想到能够直接用一个循环或者使用 pow 库函数来求解，可是题目中的材料范围太大，这样做的话时间复杂度太大，会超时。

这时候就要利用快速幂（倍增+二进制）来解除了
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如上图，如果想求 a 的 32 次方，用普通的循环来求解的话，就要循环 32 次，而利用这种倍增思想，只需要进行 5 次，这就大大降低了时间复杂度，但是若是我想要求 a 的 11 次方怎么办呢。
这时候就要进行二进制转换，11 的二进制为 1011

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可以看到，如果要计算 11 这类数，我们许可先求它二进制数所对应的每一位权重，然后将它们相乘，就允许得到结果

我们还要解决求余数，如果算出总的结果再取模，总的结果可能会很大，这时就要使用性质：

当计算过程中，只有 “加法” 和 “乘法“ 时，可以在每一步运算后进行取模操作

我们代码实现一下：
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在实现快速幂函数 qpow 中，通过将 b 和 1 按位与，来得到 b 二进制中的最右边的数，如果是 1 ，那么说明这一位占有权重，就让 sum 去乘上 a ，随后的 a 需要倍增，然后将 b 左移一位，继续判断，如果 b==0 时，循环结束，返回最终结果

离散化

通过当题目中材料的范围很大，只是数据的总个数不大，此时如果需要用资料的值来映射数组下标，就能够用离散化的思想预处理一下所有的数据，使得每一个数据都映射成一个较小的值，再用离散化后的数来处理疑问。

有几个数太大了，不好直接对其进行操作，这时候大家将这些数一一对应较小的数，用这些较小的数来进行处理，为了保证对应关系的唯一性和有理性，我们要先把数组排序，随后去重，用此时数组的下标来对应数据就是用你奶奶都能听懂的话来讲，就

先举个例子：

10
1999999
12
1999999
-48444
568
12
-100
-2845630
1000000001
263
//数出
6 3 6 1 5 3 2 0 7 4

这里我们采用C++

方法一：排序+去重+二分查找

大家先用 sort 函数对数组进行排序
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接着我们使用 unique 去重函数，它返回的是首元素下标

这里我们采用指针减指针的方式，求出去重后的 b 数组元素个数，接着就是用二分查找去找到目标值的位置，并返回下标，这样就完成了离散化对应较小数的执行
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排序+借用哈希表去重和查找

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第24行的 if 语句的目的是去重，倘若检测到 b[ i ] 这个数对应的哈希值有值了，就要跳过这个数，接着就是向容器中按顺序放进去对应的 ”下标“

这是两种求离散化的模板，接下来来一道题目：
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这个题可以看到，每一个区间的数很大，但是数据总量很小，这样就可以考虑离散化来处理素材，假定给一组数据：

3
1000 2000
1500 2500
3000 4000

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如上图，要求出船的总数量，就是红色阴影部分的长度，源于会有重复区间，我们允许考虑用差分，将每一段区间 +1 ，最后还原出数组，再统计出数组中数不为 0 的长度即可，但是直接用原始数据使用数组进行差分，下标会非常大，我们用离散化
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（因为要使用差分，这里起始下标记为 1 ）
（为了很好区分离散化后所对应的数，我将数用单引号引起来）

还原差分数组就是这样就完成了差分数组的创建，mp[a[i] ] 和 mp[b[i] ] 就是原素材对应的离散化后的”较小数“，接着就
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还原差分数组后，就要来检查数组中 >0 的区间，并累加长度

当找到 >0 区间的左右下标后，让 sum+= d [ j ] - d [ i ]，注意这里用的是 d 数组（ d 数组存的才是真实值!!）

递归

在第 4 期的实战篇中我们已经了解过了递归思想，递归就是函数自己调用自己，这里我们要再深入学习一下：

大致分为3步走：
1.先找到相同的子疑问-----> 确定函数的作用以及函数的设计
如何解决的就是2.只关心某一个子问题
3.不能继续拆分的子问题------>递归出口（结束条件）

递归的本质：在处理主问题时，必须消除子问题，两者的处理方式完全一致

要注意的是：
1.递归一定要有终止条件，防止出现死递归
2.要以宏观思维来想，找到每一个子挑战相同的处理方式，函数只要求构建这个功能就行

先来看两个经典的计算题，这里我只给出结果：
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请添加图片描述

ok,现在正式开始进阶递归：
经典汉诺塔问题：
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先来找一找能用相同处理方式解决的子难题

行看到不论一共有几个盘子，每一个的处理方式都是一样的，把 n-1 的盘子先转移到 c 柱上，再把最下的盘子放在目标柱 b 上，再把那 n-1 那一堆盘子放到 b 柱上

我们再来看一道题：
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利用相同的处理方式，首先我们用数学解方程的方法求出每次分出来的两个节点 x,y就是这道题的每一次分群也

对于每一次的处理，要分为两个节点分别计算，如果节点不可再分的时候，就说明这一群牛就会安静吃草，记一次
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归并排序

分治是将大障碍拆解为多个独立的小的问题，然后去应对每一个小困难，解决每一个小问题以后，再将结果组合起来，最终解决原疑问

核心步骤分3步：
1.分解（拆）：把大问题拆成结构相同、规模更小的子挑战（例如将数组拆成两个子数组）
2.解决（解）；递归解决每个子障碍，直到子问题小到“无需再拆”（比如子数组只剩1个元素，天然有序）
3.合并（合）；把所有子问题的解合并，得到原疑问的解

怎么实现的：就是我们来看看归并排序

因为每一个子问题都是相同的解决手段，就考虑用递归，具体看看相同的处理办法是怎么搞的
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每个子数组分出来以后，将它们进入到函数中进行排序，这样返回的是有序的子数组
假设要将 a 数组中的数排序，先将数组的左右下标表示出来 left、right，寻找中间值mid，并将数组一分为二，要实现排序操作，就需要再定义一个数组 b 来存储
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比较分出来的两个数组，每次将较小的值放在 b 数组中，当 start1 和 start2 其中一个到了边界时，就要把还有剩余元素的数组中的数放进数组 b 中，并且将 a 的数顺序更新为 b ,由此递归的返回条件是：当 left>=right 时，这时候就不能再分成两个数组了
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这里展示主函数代码：

我们来看看分治思想+归并排序来解除实际问题：

这个题要求出一个数组中逆序对的个数，借助归并排序的思路，想想我们的递归函数要达成什么功能？
在每一次的分数组中，逆序对由三个部分组成，一个是左子数组内部的逆序对个数，一个是右子数组内部的逆序对数，另一个是跨左右子数组的逆序对