逻辑回归到底在干嘛？用 “判断今天要不要带伞” 举例

你每天出门前会想：

“今天会下雨吗？” → 这是一个二分类问题（带伞 / 不带伞）。

逻辑回归就是帮你做这个决定的 “小助手”，它的思考过程是：

  1. 收集线索：比如看天气预报的 “湿度”“云层厚度”（相当于输入特征 x）。
  2. 算一个 “下雨指数”：把线索加权相加（比如湿度 ×0.6 + 云层 ×0.4 + 0.1）。
  3. 把指数转成概率：比如 “下雨指数” 越高，越可能下雨（用 sigmoid 函数转成 0-1 的概率）。
  4. 做决定：如果概率≥50%，就判断 “会下雨”，建议带伞。

核心步骤拆解：像拼积木一样简单

1. 输入特征（x）：

比如判断邮件是否为垃圾邮件，用 2 个线索：

  • x₁：邮件里有没有 “免费” 这个词（出现次数）
  • x₂：邮件里有没有 “优惠” 这个词（出现次数）
2. 算一个 “垃圾指数”（z）：

z = w₁×x₁ + w₂×x₂ + b

  • w₁和 w₂：是 “权重”，比如 “免费” 这个词更重要，w₁就大一点。
  • b：是 “基础分”，比如默认有 10% 概率是垃圾邮件。

例子：
如果一封邮件里 “免费” 出现 3 次，“优惠” 出现 2 次，
假设 w₁=0.5，w₂=0.5，b=0.1，
则 z = 0.5×3 + 0.5×2 + 0.1 = 2.6

3. 把指数转成概率（p）：

用 sigmoid 函数，公式是：p = 1/(1 + e^(-z))

  • 不管 z 多大，p 都会变成 0 到 1 之间的数，代表 “是垃圾邮件的概率”。
  • 上面的例子中 z=2.6，算出来 p≈0.93（93% 概率是垃圾邮件）。

直观理解 sigmoid：

  • z=0 → p=0.5（50% 概率）
  • z 越大 → p 越接近 1（比如 z=10 → p≈1）
  • z 越小 → p 越接近 0（比如 z=-10 → p≈0）
4. 定一个 “门槛” 做分类：

一般用 0.5 作为门槛：

  • p≥0.5 → 预测为 “垃圾邮件”（类别 1）
  • p<0.5 → 预测为 “正常邮件”（类别 0）

⚖️ 损失函数：用 “考试打分” 理解 BCE Loss

假设老师给你出了 10 道判断题（答案只有对 / 错），你每道题猜一个概率（比如第 1 题你猜 70% 是对的）。
BCE Loss 就是老师给你打分的规则：

  • 如果正确答案是 “对”（1）：
    • 你猜 70%（p=0.7）→ 得分高（损失小）
    • 你猜 30%（p=0.3）→ 得分低（损失大）
  • 如果正确答案是 “错”（0）：
    • 你猜 30%（p=0.3）→ 得分高（损失小）
    • 你猜 70%（p=0.7）→ 得分低（损失大）

公式白话版：
损失 = - [真实答案 ×log (你猜的概率) + (1 - 真实答案)×log (1 - 你猜的概率)]

  • 简单说：你猜的概率越接近真实答案，损失越小。

代码实战：用逻辑回归判断 “是不是垃圾邮件”

import torch
import matplotlib.pyplot as plt
import torch.nn as nn
import numpy as np
# 1. 生成数据（保持不变）
x = torch.randn(100, 2) * 3
y_true = ((x[:, 0] + x[:, 1] > 0) + 0.1 * torch.randn(100)).clamp(0, 1)
# 修正：调整y_true形状为[100, 1]，与模型输出匹配
y_true = y_true.view(-1, 1)  # 将一维张量转为二维张量
# 2. 定义模型（保持不变）
class Model(nn.Module):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.linear = torch.nn.Linear(2, 1)
    def forward(self, x):
        z = self.linear(x)
        p = torch.sigmoid(z)
        return p
# 3. 训练模型（其余代码保持不变）
model = Model()
criterion = torch.nn.BCELoss()
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)
losses = []
for i in range(500):
    y_pred = model(x)
    loss = criterion(y_pred, y_true)
    losses.append(loss.item())
    optimizer.zero_grad()
    loss.backward()
    optimizer.step()
    if (i + 1) % 100 == 0:
        print(f'第{i + 1}次猜，扣分：{loss.item():.4f}')
# 4. 评估模型（保持不变）
y_pred_guess = (y_pred >= 0.5).float()
accuracy = (y_pred_guess == y_true).float().mean()
print(f'\n模型猜的准确率：{accuracy.item() * 100:.2f}%')
# 5. 可视化（保持不变）
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.scatter(x[y_true.view(-1) == 0, 0], x[y_true.view(-1) == 0, 1], c='blue', label='正常邮件')
plt.scatter(x[y_true.view(-1) == 1, 0], x[y_true.view(-1) == 1, 1], c='red', label='垃圾邮件')
x1_min, x1_max = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1
x2_min, x2_max = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1
xx1, xx2 = np.meshgrid(np.linspace(x1_min, x1_max, 100), np.linspace(x2_min, x2_max, 100))
grid = torch.tensor(np.c_[xx1.ravel(), xx2.ravel()], dtype=torch.float32)
with torch.no_grad():
    probs = model(grid).reshape(xx1.shape)
plt.contour(xx1, xx2, probs, levels=[0.5], linewidths=2, colors='black')
plt.xlabel('"免费"出现次数')
plt.ylabel('"优惠"出现次数')
plt.title('模型怎么判断垃圾邮件')
plt.legend()
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(range(500), losses)
plt.xlabel('猜的次数')
plt.ylabel('扣分多少')
plt.title('模型越学越准啦！')
plt.show()

 代码拆解

一、准备工具（导入库）

import torch
import matplotlib.pyplot as plt
import torch.nn as nn
import numpy as np
  • 翻译：
    我们要开一家 “垃圾邮件识别公司”，先准备工具：
    • torch：超级计算机，能自动帮我们算复杂的数学题
    • matplotlib.pyplot：画画工具，用来画报表给老板看
    • torch.nn：组装机器人的零件库（比如齿轮、电线）
    • numpy：电子表格软件，能快速处理大量数据

二、生成假数据（模拟邮件特征）

x = torch.randn(100, 2) * 3
  • 翻译：
    我们要训练机器人识别垃圾邮件，先准备 100 封 “假邮件”：
    • 每封邮件有 2 个特征：
      • 特征 1：“免费” 这个词出现的次数（比如 0 次、3 次）
      • 特征 2：“优惠” 这个词出现的次数（比如 1 次、5 次）
    • torch.randn(100, 2)：随机生成 100 行 2 列的数字（可能是负数，但先不管）
    • * 3：把数字放大 3 倍，让它们更像真实的次数（比如 - 3 到 3 之间）
y_true = ((x[:, 0] + x[:, 1] > 0) + 0.1 * torch.randn(100)).clamp(0, 1)

  • 翻译：
    给每封邮件打 “真实标签”（是不是垃圾邮件）：
    • x[:, 0] + x[:, 1] > 0：如果 “免费” 和 “优惠” 的次数加起来 > 0，就标记为 1（垃圾邮件），否则标记为 0（正常邮件）
    • + 0.1 * torch.randn(100)：加一点随机小错误（模拟现实中偶尔判断错）
    • clamp(0, 1)：确保标签在 0 到 1 之间（不能是负数或大于 1）
y_true = y_true.view(-1, 1)  # 修正形状
  • 翻译：
    把标签的格式调整一下，从 “一行数字” 变成 “一列数字”，这样机器人更容易看懂。
    （就像把表格从横排变成竖排，方便阅读）

三、搭建模型（造一个判断垃圾邮件的机器人）

class Model(nn.Module):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.linear = torch.nn.Linear(2, 1)
  • 翻译：
    我们要造一个机器人，它能根据 “免费” 和 “优惠” 的次数判断邮件是不是垃圾：
    • class Model：定义机器人的设计图
    • self.linear = torch.nn.Linear(2, 1)：
      • 机器人有一个 “大脑”（线性层）
      • 这个大脑接收 2 个输入（“免费” 和 “优惠” 的次数）
      • 输出 1 个结果（0~1 之间的概率，表示是垃圾邮件的可能性）

    def forward(self, x):
        z = self.linear(x)
        p = torch.sigmoid(z)
        return p

  • 翻译：
    机器人的 “工作流程”：
    1. z = self.linear(x)：大脑计算z = 权重1 * “免费”次数 + 权重2 * “优惠”次数 + 偏移量
      （权重和偏移量是机器人自己学的，就像人通过经验总结规律）
    2. p = torch.sigmoid(z)：把 z 的值压缩到 0~1 之间，得到概率 p
      • 如果 p 接近 1，说明很可能是垃圾邮件
      • 如果 p 接近 0，说明很可能是正常邮件

model = Model()  # 创建机器人实例
  • 翻译：
    根据设计图，造一个真正的机器人！现在它已经可以工作了，只是还没 “训练”（权重是随机的）。

四、训练模型（教机器人学会判断）

criterion = torch.nn.BCELoss()
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)

  • 翻译：
    训练机器人需要 2 个工具：
    • criterion = torch.nn.BCELoss()：
      “打分器”，用来评价机器人判断得有多准。分数越低，说明判断越准确。
    • optimizer = torch.optim.SGD(...)：
      “教练”，根据打分器的结果，教机器人调整自己的 “大脑”（权重和偏移量）。
      • lr=0.01：学习速度，不能太快也不能太慢（就像教小孩，太快学不会，太慢浪费时间）
losses = []  # 记录每次训练的“扣分”
for i in range(500):  # 训练500次
    y_pred = model(x)  # 让机器人判断所有100封邮件
    loss = criterion(y_pred, y_true)  # 用打分器评价机器人的判断
    losses.append(loss.item())  # 记录这次的分数
  • 翻译：
    训练机器人的第一步：
    1. 让机器人判断 100 封邮件，得到预测结果y_pred
    2. 用打分器对比预测结果和真实标签，得到一个分数（损失值）
    3. 把这个分数记录下来，看看机器人有没有进步
    optimizer.zero_grad()  # 清空上次的“训练记录”
    loss.backward()  # 计算“怎么调整大脑”能让下次判断更准
    optimizer.step()  # 教练指导机器人调整大脑
  • 翻译：
    训练机器人的第二步：
    1. optimizer.zero_grad()：清空上次的训练记录（就像擦黑板，准备重新计算）
    2. loss.backward()：根据当前的损失值，计算应该怎么调整机器人的 “大脑”（权重和偏移量）
    3. optimizer.step()：教练告诉机器人：“把权重 1 增加 0.01，把权重 2 减少 0.005……”
    if (i+1) % 100 == 0:
        print(f'第{i+1}次训练，扣分：{loss.item():.4f}')

  • 翻译：
    每训练 100 次，就打印一次当前的分数（损失值）。分数越低，说明机器人越厉害！

五、评估模型（看看机器人学的怎么样）

y_pred_guess = (y_pred >= 0.5).float()  # 把概率转成0或1的判断
accuracy = (y_pred_guess == y_true).float().mean()  # 计算准确率
print(f'模型猜的准确率：{accuracy.item() * 100:.2f}%')
  • 翻译：
    考试时间！让机器人判断 100 封邮件，看看它有多厉害：
  • 就像抛硬币猜正反：
  • 模型说 “正面概率是 0.6” → 我们猜 “正面”（1）
  • 模型说 “正面概率是 0.3” → 我们猜 “反面”（0）
  • (y_pred >= 0.5)就是这个 “猜” 的过程，结果是True/False，转成.float()后变成1.0/0.0。
  • accuracy = (y_pred_guess == y_true).float().mean()
  • (y_pred_guess == y_true)：对比模型的猜测和真实标签，得到一堆True/False（猜对了 / 猜错了）
  • .float()：把True转成 1，False转成 0（1 表示猜对，0 表示猜错）
  • .mean()：计算这些 1 和 0 的平均值，就是 “猜对的比例”
  • print(f'模型猜的准确率：{accuracy.item() * 100:.2f}%')
  • accuracy.item()：从张量中取出数值（比如 0.8）
  • * 100：转成百分比（0.8 → 80%）
  • :.2f：保留两位小数（更美观）

六、可视化（画两张图，让结果更直观）

plt.figure(figsize=(12, 5))  # 创建一个画布（宽12厘米，高5厘米）
  • 翻译：
    准备一张大纸，用来画两张图给老板看。
# 左图：数据点和模型的判断边界
plt.subplot(1, 2, 1)  # 把纸分成左右两半，画左边的图
plt.scatter(x[y_true.view(-1) == 0, 0], x[y_true.view(-1) == 0, 1], c='blue', label='正常邮件')
plt.scatter(x[y_true.view(-1) == 1, 0], x[y_true.view(-1) == 1, 1], c='red', label='垃圾邮件')
  • 翻译：
    画第一张图（散点图）：
    • 蓝色点：正常邮件，横坐标是 “免费” 次数，纵坐标是 “优惠” 次数
    • 红色点：垃圾邮件，同样用横纵坐标表示两个特征

# 画模型的判断边界（黑色线）
x1_min, x1_max = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1
x2_min, x2_max = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1
xx1, xx2 = np.meshgrid(np.linspace(x1_min, x1_max, 100), np.linspace(x2_min, x2_max, 100))
grid = torch.tensor(np.c_[xx1.ravel(), xx2.ravel()], dtype=torch.float32)
with torch.no_grad():
    probs = model(grid).reshape(xx1.shape)
plt.contour(xx1, xx2, probs, levels=[0.5], linewidths=2, colors='black')
  • 翻译：
    画一条 “分界线”，帮助我们理解机器人的判断逻辑：
    1. 在整个区域内密密麻麻地撒 100×100 个点（就像在地图上标很多位置）
    2. 让机器人判断每个点是垃圾邮件的概率
    3. 画一条线，线上的点概率正好是 0.5（机器人 “不确定” 的位置）
      • 线的左边：机器人更可能判断为正常邮件
      • 线的右边：机器人更可能判断为垃圾邮件
plt.xlabel('"免费"出现次数')
plt.ylabel('"优惠"出现次数')
plt.title('模型怎么判断垃圾邮件')
plt.legend()  # 显示图例（蓝色和红色点代表什么）
  • 翻译：
    给图加上标签：
    • x 轴：“免费” 出现的次数
    • y 轴：“优惠” 出现的次数
    • 标题：模型怎么判断垃圾邮件
    • 图例：说明蓝色点和红色点分别代表什么
# 右图：扣分越来越少
plt.subplot(1, 2, 2)  # 画右边的图
plt.plot(range(500), losses)  # x轴是训练次数，y轴是每次的损失值
plt.xlabel('训练次数')
plt.ylabel('损失值（扣分）')
plt.title('模型越学越准啦！')
plt.show()  # 显示这两张图
  • 翻译：
    画第二张图（折线图）：
    • x 轴：训练次数（从 1 到 500）
    • y 轴：每次训练的损失值（扣分）
    • 理想情况下，随着训练次数增加，损失值会越来越低，说明机器人越来越厉害！

总结：整个流程像什么？

  1. 准备材料：
    开一家 “垃圾邮件识别公司”，准备电脑、画图工具、零件库和电子表格。

  2. 制造机器人：
    设计一个机器人，它能根据 “免费” 和 “优惠” 的次数判断邮件是不是垃圾。

  3. 训练机器人：

    • 给机器人 100 封 “训练邮件”，每封邮件都标好是不是垃圾
    • 让机器人判断，然后告诉它 “你错了多少”（损失值）
    • 机器人根据错误调整自己的 “大脑”（权重和偏移量）
    • 重复这个过程 500 次，直到机器人越来越准

  4. 考试：
    让机器人判断 100 封新邮件，计算它的准确率（比如 85%）。

  5. 画报表：
    画两张图给老板看：

    • 左图：机器人的 “判断逻辑”（分界线）
    • 右图：机器人的 “学习进度”（损失值越来越低）

终极总结（3 句话搞定）

  1. 逻辑回归是做什么的？
    回答 “是不是” 的问题（比如是不是垃圾邮件），输出一个概率（0-1 之间）。

  2. 核心步骤是什么？

    • 算一个 “指数”（z = 特征 × 权重 + 偏置）
    • 把指数转成概率（用 sigmoid 函数）
    • 根据概率判断类别（比如≥0.5 就是 “是”）

  3. 怎么让模型学的准？
    用 BCE 损失函数当 “老师”，告诉模型猜的有多错，再用梯度下降调整参数，让错误越来越小。