专栏：《C语言》、《数据结构与算法入门指南》
学习阶段：C语言、数据结构与算法初学者
⏳“人理解迭代，神理解递归。”
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引言
代码修行路上，你是否曾为盘根错节的二叉树所困？今日，我便传你一门无上法门——递归分神之术。
此法看似玄奥，实则暗合天道。面对复杂树结构，只需一剑化三清：本尊镇守当前，分神各巡左右。如此层层分化，直至洞悉所有脉络。
修得此术，任他树中有树、套中有套，你自能一眼洞穿虚实。三式法诀，助你练就火眼金睛，识破万千子树真伪。
一、单值二叉树
1.目标特征描述：什么单值二叉树
2.目标实现示例：
3.算法思路：
先对简单二叉树进行算法推理，再推广到整体。
递归规则：先递进再返回。
递进：首先从根节点root开始，左子树如果存在先对左子树匹配判断：若二者数值不相等，就返回false，反之继续对右子树进行判断：二者数值不相等，返回false。当然，根节点为空返回true。推广到整体，就遍历左右子树判断。
返回：整个二叉树已经递进判断完毕，要对函数从最后开始返回：看图示，第2节点的左右子节点（&&的和关系）为空，那么都返回true，代表这个子树是单值的。右子树第3节点也是单值的。那么根节点的两个子树就都返回true（&&的和关系），代表整体是单值二叉树。
3.1 具体代码实现
/**
* Definition for a binary tree node.
* struct TreeNode {
* int val;
* struct TreeNode *left;
* struct TreeNode *right;
* };
*/
bool isUnivalTree(struct TreeNode* root)
{
//首先判断树是否为空
if(root == NULL)
{
return true;
}
//存在左子树再匹配
if(root->left && root->val != root->left->val)
{
return false;
}
if(root->right && root->val != root->right->val)
{
return false;
}
return isUnivalTree(root->left) && isUnivalTree(root->right);
}- 时间复杂度: O(N)；
- 空间复杂度: O(N)；
二、相同的树
1.目标特征描述：什么是相同的树
2.目标实现示例
3.算法思路
| 情况分类 | 两根节点情况 | 结果 |
|---|---|---|
| 1 | 两个根节点都为空 | 是相同的树 |
| 2 | 一个根节点为空，另一个不为空 | 不是相同的树 |
| 3 | 两个根节点都不为空 | 比较节点数值进一步判断 |
--根据函数递归规则：
递进：从两个树根节点进行对比，第1种情况两个根节点都为空（代表没有子节点）就返回true；第2种情况一个根节点为空，另一个根节点不为空，两个树的结构不同，就返回false；第3种情况两个根节点都不为空，那么就要判断两个节点的数值，不相等就返回false。最后开始调用函数对比二者的左右子树。
返回：从函数的最后开始返回。看图示，从二者的第2个节点的左右子树开始对比，左右节点都为空返回true（&&的和关系），代表两个二叉树的第2节点为根节点子树为相同的树。同理，二者的以第3个节点为根节点的子树也是相同的树。以此类推，根节点的左右子树都是相同的树（&&的关系），代表两个二叉树为相同的二叉树。
3.1 具体代码实现
/**
* Definition for a binary tree node.
* struct TreeNode {
* int val;
* struct TreeNode *left;
* struct TreeNode *right;
* };
*/
bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q)
{
//两个根节点都为空-->结构相同
if(p == NULL && q == NULL)
{
return true;
}
//只有一个根节点为空-->结构不同
if(p == NULL || q == NULL)
{
return false;
}
//两个根节点都不为空，但值不相等
if(p->val != q->val)
{
return false;
}
//否则继续遍历判断子树
return isSameTree(p->left, q->left) && isSameTree(p->right, q->right);
}
三、另一棵树的子树
1.目标特征描述
2.目标实现示例
3.算法思路
基本算法：首先，如果根节点为空，就不需要与目标树再进行对比。不为空，就利用前面实现的判断是否是相同的树接口进行判断。不匹配，就调用函数遍历子树（注意：当左子树匹配成功，就不需要再对右子树进行判断 ）。
3.1 具体代码实现
/**
* Definition for a binary tree node.
* struct TreeNode {
* int val;
* struct TreeNode *left;
* struct TreeNode *right;
* };
*/
typedef struct TreeNode TreeNode;
bool isSametree(TreeNode* p, TreeNode* q)
{
//第1种情况，两个书都为空
if(p == NULL && q == NULL)
{
return true;
}
//第2种情况，其中1个根节点为空
if(p == NULL || q == NULL)
{
return false;
}
//第3种情况，2个根节点存在，但是数值不相同
if(p->val != q->val)
{
return false;
}
//数值相同，向下进行调用函数判断子树
return isSametree(p->left, q->left) && isSametree(p->right, q->right);
}
bool isSubtree(struct TreeNode* root, struct TreeNode* subRoot)
{
if(root == NULL)
{
return false;
}
//调用判断最开始时根节点是否匹配
if(isSametree(root, subRoot))
{
return true;
}
//根节点不匹配，向下递归调用
return isSubtree(root->left, subRoot) || isSubtree(root->right,subRoot);
}
四、对称二叉树
1.目标特征描述
2.目标实现示例
3.算法思路
首先根节点为空，代表树为空，一定是对称的。不为空，将根节点的左右子树判断结构是否对称——>改变一下前面实现相同的树的接口：return isSametree(p->left, q->right) && isSametree(p->right, q->left);，因为让左右对应进行对比。
如果函数判断后，返回的false，那么就直接返回false。
3.1 具体代码实现
/**
* Definition for a binary tree node.
* struct TreeNode {
* int val;
* struct TreeNode *left;
* struct TreeNode *right;
* };
*/
typedef struct TreeNode TreeNode;
bool isSametree(TreeNode* p, TreeNode*q)
{
//根节点都为空
if(p == NULL && q == NULL)
{
return true;
}
//一个根节点为空
if(p == NULL || q == NULL)
{
return false;
}
//不为空，但是数值不同
if(p->val != q->val)
{
return false;
}
//以上均不满足，代表这两个节点相同，遍历子树继续判断
return isSametree(p->left, q->right) && isSametree(p->right, q->left);
}
bool isSymmetric(struct TreeNode* root)
{
//树为空
if(root == NULL)
{
return true;
}
//树不为空,将左右子树进行对比，看结构是否对称
if(isSametree(root->left, root->right))
{
return true;
}
return false;
}总结
道阻且长，行则将至
四大递归心法已传授完毕，但这只是算法修真的起点。递归分神的精髓，将在后续的图论、动态规划等秘境中继续发挥威力。
保持这份求道之心，我们下期「回溯秘境」再会！
愿每一位码农修行者，都能在算法之道上突破自我。
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