UVa 1030 Image Is Everything - 实践

题目描述

你的公司正在建造一个能够抓取小型轻量物体的机器人。机器人需要依据智能判断来确定物体是否足够轻。它通过从$6$个基本方向（前、后、左、右、上、下）拍摄物体的图片，然后根据这些图像推断物体重量的上限。

每个物体由一个$N\times N\times N$的立方体网格组成，其中某些立方体可能缺失。每个$1\times 1\times 1$ 的立方体重$1$克，每个立方体被涂成单一纯色。物体不一定是连通的。

输入格式

输入包含多个测试用例。每个测试用例以一行包含整数$N$ ($1\le N\le 10$) 开始，表示物体的大小。接下来的$N$ 行包含$6$个不同的 $N\times N$视图，按顺序为：前、左、后、右、顶、底视图。每个视图与下一个视图之间用单个空格分隔。

输出格式

对于每个测试用例，输出一行包含物体的最大可能重量，格式如样例所示。

题目分析

问题理解

我们需要根据$6$个正交投影视图来重构一个$N\times N\times N$的三维物体，并找出在满足所有视图约束的情况下，物体可能包含的最大立方体数量。

关键约束条件：

• 每个视图是一个$N\times N$ 的网格
• 网格中的每个位置要么是颜色字母，表示从该方向看过去时，该位置看到的第一个不透明立方体的颜色
• 网格中的 ‘.’ 表示从该方向看过去，该位置没有立方体（即整条视线都是透明的）

核心思路

这是一个三维几何约束满足障碍，大家允许通过迭代约束传播的方法来消除。

算法步骤

1. 初始化：假设所有 $N^3$个立方体都存在
2. 处理透明约束：对于每个视图中为 ‘.’ 的位置，移除该视线上的所有立方体
3. 迭代处理颜色约束：
   • 对于每个视图中为颜色的位置，沿着视线方向找到第一个存在的立方体
   • 如果该立方体颜色未确定，设置为视图颜色
   • 如果颜色匹配，处理完成
   • 如果颜色冲突，移除该立方体并继续寻找
4. 重复步骤3直到没有立方体状态发生变化
5. 统计结果：计算剩余立方体数量

坐标映射

关键的难点在于正确建立$6$个视图与三维立方体坐标之间的映射关系：

• 前视图 ($-z$ 方向)：$(x,y,z)=(c,N-1-r,d)$
• 左视图 ($-x$ 方向)：$(x,y,z)=(d,N-1-r,N-1-c)$
• 后视图 ($+z$ 方向)：$(x,y,z)=(N-1-c,N-1-r,N-1-d)$
• 右视图 ($+x$ 方向)：$(x,y,z)=(N-1-d,N-1-r,c)$
• 顶视图 ($+y$ 方向)：$(x,y,z)=(c,N-1-d,N-1-r)$
• 底视图 ($-y$ 方向)：$(x,y,z)=(c,d,r)$

其中 $(r,c)$是视图坐标，$d$是视线深度。

复杂度分析

• 空间复杂度：$O(N^3)$，用于存储三维立方体状态
• 时间复杂度：最坏情况下$O(N^5)$，但由于 $N\le 10$，实际运行效率很高

代码实现

// Image Is Everything
// UVa ID: 1030
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-24
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net
#include <bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  const int MAX_CUBE_SIZE = 15;  // 最大立方体尺寸
  class CubeReconstructor {
  private:
  int cubeSize;                          // 立方体的尺寸 N
  char viewData[6][MAX_CUBE_SIZE][MAX_CUBE_SIZE];  // 存储6个方向的视图数据
  char cubeState[MAX_CUBE_SIZE][MAX_CUBE_SIZE][MAX_CUBE_SIZE];  // 三维立方体状态
  /**
  * 读取有效字符，跳过空格等无效字符
  * @return 有效的颜色字符（大写字母）或 '.' 表示透明
  */
  char readValidCharacter() {
  char currentChar;
  while (true) {
  currentChar = getchar();
  // 只接受大写字母（颜色）或 '.'（透明）
  if ((currentChar >= 'A' && currentChar <= 'Z') || currentChar == '.') {
  return currentChar;
  }
  }
  }
  /**
  * 将视图坐标转换为三维立方体坐标
  * @param viewId 视图编号（0-5分别对应前、左、后、右、顶、底视图）
  * @param viewRow 视图中的行坐标
  * @param viewCol 视图中的列坐标
  * @param depth 视线深度（从近到远）
  * @param cubeX 输出的立方体X坐标
  * @param cubeY 输出的立方体Y坐标
  * @param cubeZ 输出的立方体Z坐标
  */
  void convertViewToCubeCoordinates(int viewId, int viewRow, int viewCol, int depth,
  int& cubeX, int& cubeY, int& cubeZ) {
  switch(viewId) {
  case 0:  // 前视图 (front): 从 -Z 方向观察
  cubeX = viewRow;
  cubeY = viewCol;
  cubeZ = depth;
  break;
  case 1:  // 左视图 (left): 从 -X 方向观察
  cubeX = viewRow;
  cubeY = depth;
  cubeZ = cubeSize - viewCol - 1;
  break;
  case 2:  // 后视图 (back): 从 +Z 方向观察
  cubeX = viewRow;
  cubeY = cubeSize - viewCol - 1;
  cubeZ = cubeSize - depth - 1;
  break;
  case 3:  // 右视图 (right): 从 +X 方向观察
  cubeX = viewRow;
  cubeY = cubeSize - depth - 1;
  cubeZ = viewCol;
  break;
  case 4:  // 顶视图 (top): 从 +Y 方向观察
  cubeX = depth;
  cubeY = viewCol;
  cubeZ = cubeSize - viewRow - 1;
  break;
  case 5:  // 底视图 (bottom): 从 -Y 方向观察
  cubeX = cubeSize - depth - 1;
  cubeY = viewCol;
  cubeZ = viewRow;
  break;
  }
  }
  public:
  /**
  * 初始化重构器，读取输入数据
  * @param size 立方体的尺寸 N
  */
  void initialize(int size) {
  cubeSize = size;
  // 读取6个方向的视图数据
  // 输入顺序：对于每一行，依次读取前、左、后、右、顶、底视图的对应行
  for (int row = 0; row < cubeSize; row++) {
  for (int viewId = 0; viewId < 6; viewId++) {
  for (int col = 0; col < cubeSize; col++) {
  viewData[viewId][row][col] = readValidCharacter();
  }
  }
  }
  // 初始化立方体状态：'#' 表示立方体可能存在（初始状态）
  for (int x = 0; x < cubeSize; x++) {
  for (int y = 0; y < cubeSize; y++) {
  for (int z = 0; z < cubeSize; z++) {
  cubeState[x][y][z] = '#';
  }
  }
  }
  }
  /**
  * 计算物体的最大可能重量
  * @return 最大重量（即存在的立方体数量）
  */
  int calculateMaximumWeight() {
  int cubeX, cubeY, cubeZ;  // 立方体坐标
  // 第一步：处理透明视图约束
  // 对于每个视图中标记为 '.' 的位置，移除整条视线上的所有立方体
  for (int viewId = 0; viewId < 6; viewId++) {
  for (int viewRow = 0; viewRow < cubeSize; viewRow++) {
  for (int viewCol = 0; viewCol < cubeSize; viewCol++) {
  if (viewData[viewId][viewRow][viewCol] == '.') {
  // 沿着视线方向，将所有立方体标记为不存在
  for (int depth = 0; depth < cubeSize; depth++) {
  convertViewToCubeCoordinates(viewId, viewRow, viewCol, depth,
  cubeX, cubeY, cubeZ);
  cubeState[cubeX][cubeY][cubeZ] = '.';  // 标记为不存在
  }
  }
  }
  }
  }
  // 第二步：迭代处理颜色约束
  bool hasChanges;  // 标记本轮迭代是否有状态变化
  do {
  hasChanges = false;  // 初始假设没有变化
  // 遍历所有视图的所有颜色位置
  for (int viewId = 0; viewId < 6; viewId++) {
  for (int viewRow = 0; viewRow < cubeSize; viewRow++) {
  for (int viewCol = 0; viewCol < cubeSize; viewCol++) {
  char expectedColor = viewData[viewId][viewRow][viewCol];
  // 只处理颜色位置，跳过透明位置
  if (expectedColor != '.') {
  // 沿着视线方向寻找第一个存在的立方体
  for (int depth = 0; depth < cubeSize; depth++) {
  convertViewToCubeCoordinates(viewId, viewRow, viewCol, depth,
  cubeX, cubeY, cubeZ);
  // 如果当前立方体已确定不存在，继续检查下一个
  if (cubeState[cubeX][cubeY][cubeZ] == '.') {
  continue;
  }
  // 如果立方体颜色未确定，设置为期望颜色
  if (cubeState[cubeX][cubeY][cubeZ] == '#') {
  cubeState[cubeX][cubeY][cubeZ] = expectedColor;
  }
  // 如果颜色匹配，这个视图位置处理完成
  if (cubeState[cubeX][cubeY][cubeZ] == expectedColor) {
  break;
  }
  // 颜色冲突：立方体颜色与视图要求不符，必须移除
  cubeState[cubeX][cubeY][cubeZ] = '.';
  hasChanges = true;  // 标记有状态变化，需要继续迭代
  }
  }
  }
  }
  }
  } while (hasChanges);  // 继续迭代直到没有状态变化
  // 统计最终存在的立方体数量
  int existingCubeCount = 0;
  for (int x = 0; x < cubeSize; x++) {
  for (int y = 0; y < cubeSize; y++) {
  for (int z = 0; z < cubeSize; z++) {
  if (cubeState[x][y][z] != '.') {
  existingCubeCount++;
  }
  }
  }
  }
  return existingCubeCount;  // 每个立方体重1克，所以数量即为重量
  }
  };
  int main() {
  int cubeSize;
  CubeReconstructor reconstructor;
  // 处理多个测试用例，直到输入0为止
  while (scanf("%d", &cubeSize) == 1 && cubeSize != 0) {
  reconstructor.initialize(cubeSize);
  int maxWeight = reconstructor.calculateMaximumWeight();
  printf("Maximum weight: %d gram(s)\n", maxWeight);
  }
  return 0;
  }

总结

本题通过迭代约束传播的方法，从$6$个正交投影视图中重构三维物体。关键在于正确建立视图坐标与三维坐标的映射关系，以及通过多次迭代逐步确定或排除立方体的存在性。算法在保证正确性的同时，能够在合理时间内解决问题，体现了约束满足难题在实际应用中的巧妙解法。