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树结构
一、Huffman树（最优二叉树）
1、基本概念
（1）路径长度：路径上的分支数目
（2）树的路径长度：从树根到每一结点的路径长度之和
（3）带权路径长度：结点到根的路径长度与结点上权的乘积
（4）树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和
2、Huffman树的定义
哈夫曼树（Huffman Tree），又称最优二叉树，是一类带权路径长度（Weighted Path Length, WPL）最短的二叉树，其核心特性是：对于给定的一组带权值的叶子节点，通过特定特定构造方法使树的总带权路径长度最小。哈夫曼树是 “最优树” 的典型代表，广泛应用于数据压缩、编码等领域。
核心概念：
使该值最小。就是（1）带权路径长度（WPL）指树中所有叶子节点的权值与该节点到根节点的路径长度（边的数量）的乘积之和，公式为：WPL=∑i=1n(wi×li)其中，wi 是第 i 个叶子节点的权值，li 是该叶子节点到根节点的路径长度。哈夫曼树的目标
（2）叶子节点与非叶子节点哈夫曼树中，权值仅存在于叶子节点，非叶子节点的权值由其左右子树的权值之和构成（用于构建树的中间过程）。
3、构建哈夫曼算法
哈夫曼树经过贪心策略构建，步骤如下：
（1）初始化：将所有带权值的叶子节点视为独立的单节点树，组成一个森林（集合）。
（2）迭代合并：
① 从森林中选取权值最小的两棵树，作为新树的左、右子树（左、右顺序不影响 WPL，通常权值小的放左）。
② 新树的根节点权值为两棵子树的权值之和。
③ 将新树加入森林，同时移除参与合并的两棵树。
（3）终止条件：当森林中只剩下一棵树时，该树即为哈夫曼树。
代码示例：
class HuffmanNode:
"""哈夫曼树节点类"""
def __init__(self, weight, char=None, left=None, right=None):
self.weight = weight # 节点权重（叶子节点为字符频率，非叶子节点为子树权重和）
self.char = char # 叶子节点对应的字符（非叶子节点为None）
self.left = left # 左子树
self.right = right # 右子树
# 定义比较方法，用于优先队列排序（按权重从小到大）
def __lt__(self, other):
return self.weight < other.weight
def build_huffman_tree(char_weights):
"""
构建哈夫曼树
:param char_weights: 字符-权重字典（如 {'A':5, 'B':9, ...}）
:return: 哈夫曼树的根节点
"""
import heapq # 利用堆实现优先队列，高效获取最小权重节点
# 1. 初始化：将所有字符转为叶子节点，加入优先队列（小根堆）
heap = []
for char, weight in char_weights.items():
node = HuffmanNode(weight, char)
heapq.heappush(heap, node)
# 2. 迭代合并：每次取两个最小权重节点，合并为新节点
while len(heap) > 1:
# 取出权重最小的两个节点
left_node = heapq.heappop(heap)
right_node = heapq.heappop(heap)
# 构建新节点（权重为两节点之和，无字符）
merged_weight = left_node.weight + right_node.weight
merged_node = HuffmanNode(merged_weight, left=left_node, right=right_node)
# 将新节点加入优先队列
heapq.heappush(heap, merged_node)
# 3. 剩余的最后一个节点即为哈夫曼树的根节点
return heap[0] if heap else None
def calculate_wpl(root, depth=0):
"""计算哈夫曼树的带权路径长度（WPL）"""
if root is None:
return 0
# 叶子节点：累加 权重×深度
if root.left is None and root.right is None:
return root.weight * depth
# 非叶子节点：递归计算左右子树的WPL之和
return calculate_wpl(root.left, depth + 1) + calculate_wpl(root.right, depth + 1)
# 示例使用
if __name__ == "__main__":
# 字符及其频率（权重）
char_weights = {'A': 5, 'B': 9, 'C': 12, 'D': 13, 'E': 16, 'F': 45}
# 构建哈夫曼树
huffman_root = build_huffman_tree(char_weights)
# 计算WPL
wpl = calculate_wpl(huffman_root)
print(f"哈夫曼树的带权路径长度（WPL）：{wpl}") # 输出：269（与之前示例一致）4、示例说明
示例1：给定叶子节点权值：[5, 9, 12, 13, 16, 45]，构建哈夫曼树的过程：
（1）初始森林：{5, 9, 12, 13, 16, 45}。
（2）第一次合并：选最小的 5 和 9，合并为根权值 14 的树，森林变为 {12, 13, 14, 16, 45}。
（3）第二次合并：选 12 和 13，合并为根权值 25 的树，森林变为 {14, 16, 25, 45}。
（4）第三次合并：选 14 和 16，合并为根权值 30 的树，森林变为 {25, 30, 45}。
（5）第四次合并：选 25 和 30，合并为根权值 55 的树，森林变为 {45, 55}。
（6）第五次合并：选 45 和 55，合并为根权值 100 的树，森林只剩一棵树，即哈夫曼树。
最终树的 WPL 计算：5×4+9×4+12×3+13×3+16×3+45×2=20+36+36+39+48+90=269，为所有可能二叉树中最小的 WPL。
示例2：
5、结构特点
（1）权值越大的叶子节点，距离根节点越近（贪心策略的体现，减少高权值节点的路径长度）。
（2）没有度为 1 的节点（所有非叶子节点均有左右子树，即 “严格二叉树”）。
（3）若叶子节点数量为 n，则哈夫曼树的总节点数为 2n−1（因每次合并增加 1 个节点，共需 n−1 次合并）。
6、应用：哈夫曼编码
哈夫曼树的典型应用是哈夫曼编码（数据压缩算法），原理如下：
（1）对字符（叶子节点）按出现频率（权值）构建哈夫曼树。
（2）从根到叶子的路径中，左分支标记为 “0”，右分支标记为 “1”，叶子节点的路径编码即为该字符的哈夫曼编码。
（3）特性：高频字符编码短，低频字符编码长，且编码无歧义（前缀编码，任一编码不是其他编码的前缀），从而实现高效压缩。
二、哈夫曼编码的简单介绍
1、哈夫曼编码的定义
哈夫曼编码是基于哈夫曼树（最优二叉树）的一种前缀编码，核心是为高频字符分配短编码、低频字符分配长编码，从而实现信息的高效压缩，且无编码歧义。
2、核心原理
（1）以频率为权值构建哈夫曼树将得编码的字符视为 “叶子节点”，其出现频率作为节点 “权值”，按哈夫曼树的构建规则（反复合并权值最小的两棵树）生成哈夫曼树。
（2）路径即编码从哈夫曼树的根节点出发，向左子树走标记为 “0”，向右子树走标记为 “1”；每个叶子节点（字符）从根到自身的路径序列，就是该字符的哈夫曼编码。
3、关键特性
（1）前缀编码：任一字符的编码都不是其他字符编码的前缀，避免解码时产生歧义。例如 “01” 和 “010” 不能同时存在，基于前者是后者的前缀。
（2）压缩高效：高频字符编码短、低频字符编码长，整体编码总长度最短，压缩率高于固定长度编码（如 ASCII 码）。
4、简单示例
假设字符及出现频率如下：
| 字符 | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| 频率 | 5 | 9 | 12 | 13 |
（1）构建哈夫曼树：按频率（权值）合并，最终生成哈夫曼树（过程参考哈夫曼树构建）。
（2）生成编码：
① A（频率 5）：路径为 “000”，编码 = 000
② B（频率 9）：路径为 “001”，编码 = 001
③ C（频率 12）：路径为 “01”，编码 = 01
④ D（频率 13）：路径为 “1”，编码 = 1
（3）编码与解码：原文 “ABDC” 的编码为 “000 001 1 01”（合并后为 “000001101”）；解码时，从根出发按 “0/1” 路径找叶子节点，即可还原为原字符。
5、应用场景
无损数据压缩的基础，广泛用于：就是哈夫曼编码
（1）材料压缩格式（如 ZIP、GZIP）。
（2）图像压缩（如 JPEG 的 entropy coding 阶段）。
（3）通信传输中的数据编码，减少传输带宽。
浙公网安备 33010602011771号