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题目一：最大平均值和的分组（LeetCode 410，困难）

题目分析

给定数组 nums 和整数 k，将数组分成 k 个非空连续子数组，求这 k 个子数组平均值的总和最大值。数组长度 n 满足 1 ≤ k ≤ n ≤ 1000。例如：输入 nums = [9,1,2,3,9], k = 3，输出 20.0（分组为 [9]、[1,2,3]、[9]，平均值和为 9 + 2 + 9 = 20）；输入 nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4，输出 20.5（分组为 [1,2,3,4]、[5]、[6]、[7]，平均值和为 2.5 + 5 + 6 + 7 = 20.5）。

解题思路（动态规划+前缀和优化）

核心是通过前缀和快速计算子数组和，结合动态规划状态转移求解“前 i 个元素分 j 组的最大平均值和”：

  1. 前缀和预处理：
    计算前缀和数组 pre_sum，其中 pre_sum[i] = sum(nums[0..i-1])，则子数组 nums[l..r] 的和为 pre_sum[r+1] - pre_sum[l]，查询时间复杂度降至 O(1)。
  2. 动态规划状态定义：
    • dp[i][j]：表示将前 i 个元素分成 j 组的最大平均值和；
    • 初始状态：dp[i][1] = pre_sum[i]/i（前 i 个元素分1组，平均值为总和除以长度）。
  3. 状态转移逻辑：
    要计算 dp[i][j]，需枚举上一组的结束位置 m（j-1 ≤ m < i），则：
    dp[i][j] = max(dp[m][j-1] + (pre_sum[i] - pre_sum[m])/(i - m))
    即“上一组的最大平均值和 + 当前组的平均值”的最大值。

示例代码

def largestSumOfAverages(nums, k) -> float:
n = len(nums)
# 前缀和数组：pre_sum[i] = sum(nums[0..i-1])
pre_sum = [0] * (n + 1)
for i in range(n):
pre_sum[i + 1] = pre_sum[i] + nums[i]
# dp[i][j]：前i个元素分j组的最大平均值和
dp = [[0.0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
# 初始化：分1组的情况
for i in range(1, n + 1):
dp[i][1] = pre_sum[i] / i
# 填充dp表：j从2到k，i从j到n（至少j个元素才能分j组）
for j in range(2, k + 1):
for i in range(j, n + 1):
# 枚举上一组结束位置m
for m in range(j - 1, i):
current = dp[m][j - 1] + (pre_sum[i] - pre_sum[m]) / (i - m)
if current > dp[i][j]:
dp[i][j] = current
return dp[n][k]
# 测试示例
print("最大平均值和1：", largestSumOfAverages([9,1,2,3,9], 3))  # 输出：20.0
print("最大平均值和2：", largestSumOfAverages([1,2,3,4,5,6,7], 4))  # 输出：20.5
print("最大平均值和3：", largestSumOfAverages([1,2], 2))  # 输出：3.0

代码解析

  • 前缀和的高效性：将子数组和计算从 O(n) 优化到 O(1)，大幅提升状态转移效率；
  • 状态转移的合理性：通过枚举上一组结束位置，确保每组均为连续子数组，符合题目要求；
  • 复杂度说明：时间复杂度 O(kn²)，空间复杂度 O(nk)，在 n=1000、k=100 场景下可高效运行，是该问题的经典解法。

题目二：拼接最大数（LeetCode 321，困难）

题目分析

给定两个数组 nums1（长度 m）和 nums2（长度 n），返回由两数组元素组成的长度为 k 的最小字典序序列（元素需保持原数组相对顺序）。例如：输入 nums1 = [3,4,6,5], nums2 = [9,1,2,5,8,3], k = 5，输出 [1,2,3,3,4]；输入 nums1 = [2,5,6,4,4,0], nums2 = [7,3,8,0,6,5,7,6], k = 10，输出 [0,0,2,3,4,4,5,6,6,7]。

解题思路（贪心+单调栈+双指针合并）

核心是分三步实现：先选子序列、再枚举拆分、最后合并，每步均以“最小字典序”为目标：

  1. 单调栈选子序列：
    定义 pick_min(nums, t) 函数：从 nums 中选 t 个元素组成最小字典序子序列。通过“贪心丢弃较大元素”维护栈的递增性，最终取栈前 t 个元素。
  2. 枚举选数拆分：
    确定 nums1 选 t 个元素的范围：t_min = max(0, k - n)（nums2 最多提供 n 个元素），t_max = min(m, k)（nums1 最多提供 m 个元素）。对每个 t，nums2 选 k-t 个元素，得到两个子序列 sub1 和 sub2。
  3. 双指针合并子序列：
    合并时每次选择“剩余子序列字典序更小”的当前元素（比较 sub1[i:] 和 sub2[j:]），确保合并结果字典序最小，记录所有合并结果中的最小值。

示例代码

def maxNumber(nums1, nums2, k):
def pick_min(nums, t):
"""从nums选t个元素，组成最小字典序子序列"""
stack = []
drop = len(nums) - t  # 需丢弃的元素数
for num in nums:
while drop > 0 and stack and stack[-1] > num:
stack.pop()
drop -= 1
stack.append(num)
return stack[:t]
def merge(a, b):
"""合并两个子序列为最小字典序"""
res = []
i = j = 0
while i < len(a) and j < len(b):
if a[i:] < b[j:]:  # 比较剩余子序列整体字典序
res.append(a[i])
i += 1
else:
res.append(b[j])
j += 1
res.extend(a[i:])
res.extend(b[j:])
return res
m, n = len(nums1), len(nums2)
min_seq = []
t_min = max(0, k - n)
t_max = min(m, k)
for t in range(t_min, t_max + 1):
t2 = k - t
if t2 < 0 or t2 > n:
  continue
  sub1 = pick_min(nums1, t)
  sub2 = pick_min(nums2, t2)
  current = merge(sub1, sub2)
  if not min_seq or current < min_seq:
  min_seq = current
  return min_seq
  # 测试示例
  nums1_1 = [3,4,6,5]
  nums2_1 = [9,1,2,5,8,3]
  k1 = 5
  print("拼接最小字典序1：", maxNumber(nums1_1, nums2_1, k1))  # 输出：[1,2,3,3,4]
  nums1_2 = [2,5,6,4,4,0]
  nums2_2 = [7,3,8,0,6,5,7,6]
  k2 = 10
  print("拼接最小字典序2：", maxNumber(nums1_2, nums2_2, k2))  # 输出：[0,0,2,3,4,4,5,6,6,7]

代码解析

  • 单调栈的核心作用：快速筛选出指定长度的最小字典序子序列，时间复杂度 O(n) per 调用；
  • 合并逻辑的关键：比较剩余子序列而非单个元素，避免“局部最优但整体不优”的问题（如 a=[1,3]、b=[1,2]，需优先选 b[0]）；
  • 枚举范围优化：t_min 和 t_max 限定合理拆分，减少无效计算，整体时间复杂度 O(k(m + n))。

题目三：矩形区域不超过K的最大和（LeetCode 363，困难）

题目分析

给定 m x n 矩阵 matrix 和整数 k，找出矩阵中不超过 k 的最大矩形和。题目保证存在这样的矩形。例如：输入 matrix = [[1,0,1],[0,-2,3]], k = 2，输出 2（矩形 [[1,0,1]] 和为 2）；输入 matrix = [[2,2,-1]], k = 3，输出 3（矩形 [[2,2,-1]] 和为 3）。

解题思路（二维转一维+前缀和+有序数组二分）

核心是将二维矩形和问题转化为一维子数组和问题，结合二分查找高效求解：

  1. 二维转一维：
    遍历所有可能的左列 left，初始化“行和数组” row_sum（每行从 left 到当前右列的和）。遍历右列 right（right ≥ left）时，更新 row_sum[i] += matrix[i][right]，此时问题转化为“在 row_sum 中找不超过 k 的最大子数组和”。
  2. 一维前缀和+二分查找：
    • 计算 row_sum 的前缀和 prefix，维护有序数组 sorted_prefix 存储已遍历的前缀和；
    • 对每个 prefix[j]，在 sorted_prefix 中二分查找 prefix[j] - k 的插入位置 idx，若 idx < len(sorted_prefix)，则 prefix[j] - sorted_prefix[idx] 是候选值；
    • 将 prefix[j] 插入 sorted_prefix（保持有序），实时更新最大候选值。

示例代码

import bisect
def maxSumSubmatrix(matrix, k) -> int:
m, n = len(matrix), len(matrix[0])
max_sum = float('-inf')
# 遍历所有左列
for left in range(n):
row_sum = [0] * m  # 每行从left到right的和
# 遍历所有右列
for right in range(left, n):
# 更新行和
for i in range(m):
row_sum[i] += matrix[i][right]
# 找row_sum中不超过k的最大子数组和
prefix = 0
sorted_prefix = [0]  # 存储已遍历前缀和（有序）
for num in row_sum:
prefix += num
# 二分查找prefix - k的插入位置
idx = bisect.bisect_left(sorted_prefix, prefix - k)
if idx < len(sorted_prefix):
current_sum = prefix - sorted_prefix[idx]
if current_sum > max_sum and current_sum <= k:
max_sum = current_sum
# 插入当前前缀和
bisect.insort(sorted_prefix, prefix)
return max_sum
# 测试示例
matrix1 = [[1,0,1],[0,-2,3]]
k1 = 2
print("不超过k的最大和1：", maxSumSubmatrix(matrix1, k1))  # 输出：2
matrix2 = [[2,2,-1]]
k2 = 3
print("不超过k的最大和2：", maxSumSubmatrix(matrix2, k2))  # 输出：3

代码解析

  • 维度转化的价值：将复杂二维问题拆解为“固定列+一维子数组”，降低问题复杂度；
  • 二分查找的效率：有序数组维护前缀和，每次二分和插入时间 O(m log m)，整体时间复杂度 O(n² m log m)，在 n 较小的矩阵中高效可行；
  • 边界处理细节：sorted_prefix = [0] 覆盖“子数组从第一个元素开始”的场景，确保结果无遗漏。

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