【LetMeFly】1039.多边形三角剖分的最低得分：记忆化搜索（深度优先搜索）

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/minimum-score-triangulation-of-polygon/

你有一个凸的 n 边形，其每个顶点都有一个整数值。给定一个整数数组 values ，其中 values[i] 是第 i 个顶点的值（即 顺时针顺序 ）。

假设将多边形 剖分 为 n - 2 个三角形。对于每个三角形，该三角形的值是顶点标记的乘积，三角剖分的分数是进行三角剖分后所有 n - 2 个三角形的值之和。

返回 多边形进行三角剖分后可以得到的最低分 。

    示例 1：

    输入：values = [1,2,3]
输出：6
解释：多边形已经三角化，唯一三角形的分数为 6。

    示例 2：

    输入：values = [3,7,4,5]
输出：144
解释：有两种三角剖分，可能得分分别为：3*7*5 + 4*5*7 = 245，或 3*4*5 + 3*4*7 = 144。最低分数为 144。

    示例 3：

    输入：values = [1,3,1,4,1,5]
输出：13
解释：最低分数三角剖分的得分情况为 1*1*3 + 1*1*4 + 1*1*5 + 1*1*1 = 13。

    提示：

    • n == values.length
    • 3 <= n <= 50
    • 1 <= values[i] <= 100

    解题方法：DFS

    借一张@灵茶山艾府的图：

    5时示例图

    以边1-5为例，这条边最终一定在一个三角形中。在哪个三角形中呢？一共有图中这四种可能。我们分别枚举这4种可能就好了。

    具体来说，我们可以写一个函数dfs(i, j)，代表从i到j的凸多边形的最低得分，那么将点k作为边15所在三角形的另一个顶点的话，得到的总得分为dfs(i, k)+dfs(k, j) + i*j*k。

    • 时间复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)
    • 空间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

    AC代码

    C++
    /*
* @Author: LetMeFly
* @Date: 2025-09-29 18:44:48
* @LastEditors: LetMeFly.xyz
* @LastEditTime: 2025-10-01 20:38:27
*/
#if defined(_WIN32) || defined(__APPLE__)
#include "_[1,2]toVector.h"
#endif
class Solution {
private:
unordered_map<int, int> cache;
  vector<int> values;
    int n;
    int dfs(int i, int j) {
    if (j - i < 2) {
    return 0;
    }
    int key = i * n + j;
    if (cache.count(key)) {
    return cache[key];
    }
    if (j - i == 2) {
    return cache[key] = values[i] * values[i + 1] * values[i + 2];
    }
    int ans = 1000000000;
    /*
    0 1 2 3 -> 0 1 2 + 0 2 3
    0   1
    3   2
    0 1 2 3 4
    3
    4        2
    0      1
    (i,j,k) + dfs(i,k)+dfs(k,j)
    */
    for (int k = i + 1; k < j; k++) {
    ans = min(ans, dfs(i, k) + dfs(k, j) + values[i] * values[k] * values[j]);
    }
    return cache[key] = ans;
    }
    public:
    int minScoreTriangulation(vector<int>& values) {
      this->values = move(values);
      n = this->values.size();
      return dfs(0, n - 1);
      }
      };
      #if defined(_WIN32) || defined(__APPLE__)
      /*
      [3,7,4,5]
      144
      */
      int main() {
      string s;
      while (cin >> s) {
      vector<int> v = stringToVector(s);
        Solution sol;
        cout << sol.minScoreTriangulation(v) << endl;
        }
        return 0;
        }
        #endif

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