高效的算法找出中间全部A[i] = i的下标

 给定一个排好升序的数组A[1]、A[2]、……、A[n]，其元素的值都两两不相等。

请设计一高效的算法找出中间全部A[i] = i的下标。并分析其复杂度。

解析：首先分析一下这个数组。如果当中某个位置的A[i] = i，那么能够肯定的值，之前的A[x] > x，之后的A[x] < x。另一个显而易见的性质就是中间的A[i]=i一定是连续存在的。不可能跨区域存在。由于这个数组是升序的。

我给出的方法是二分查找，详细的做法是：我们如果一个新数组B。其元素是A[i] - i的值，这种话。B[i] = 0的时候A[i] = i，并且把B数组划分成了三个部分，左边的小于零的区域，中间的等于零的区域，右边的大于零的区域。

我第一次的想法是：二分搜索这个想象中的新数组，找到值为零的下标。可是这个下标不一定是最左边的满足条件的下标，所以我们还须要写一个while来往左移动这个下标，直到找到最左边的符合条件的下标，例如以下代码（如果已经通过二分查找找到了符合条件的一个下标idx）：

1 2	while(A[idx-1] == (idx-1))      idx--;

这种话其时间复杂度就是O(logn) + O(n)，还是属于On)的范畴。

后来我想到。为什么仅仅去随机命中一个目标下标呢！如果二分查找这个数据的边界的话，就能直接得到最左边符合条件的下标了！事实上二分查找不仅仅适用于对一个元素的搜索。也能够用于两个、三个特定相对位置元素的搜索。每次查找的时候，如果当前位置是mid，那么仅仅要推断当前A[mid] - mid是否小于零。以及后一个元素A[mid+1] - (mid+1) == 0即可了。

#include  <iostream> 

usingnamespace std;  

intBinarySearch(intcc[], intlen) 

{ 

   intl = 0, r = len, mid; 

   while(l <= r) 

   { 

      mid = l + ((r-l) >> 1); 

      if(mid == 0 && cc[mid] == mid)   // 若数组一開始就符合条件 

         return0; 

      // 若满足条件的下标不是从0開始。则边界是前一个<0，且后一个=0 

      if(cc[mid]-mid < 0 && cc[mid+1]-(mid+1) == 0) 

         returnmid+1; 

      // 二分查找边界：前一个<0，且后一个=0 

      if(cc[mid] - mid >= 0) 

         r = mid-1; 

      else 

         l = mid+1; 

   } 

   return-1; 

}    

int main() 

{ 

   // int cc[] = {0, 1}; 

   // int cc[] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; 

   // int cc[] = {-9, -8, -4, -2, 4, 5, 9}; 

   // int cc[] = {-5, -4, -3, 5, 6, 7}; 

   intlen = sizeof(cc)/sizeof(int); 

   intidx = BinarySearch(cc, len); 

   if(idx != -1) 

   { 

      while(cc[idx] == idx) 

      { 

         printf("%d ", idx); 

         idx++; 

      } 

   } 

   else 

   { 

      printf("Not found\n"); 

   } 

   

   getchar(); 

   return0; 

}