ARC096F Sweet Alchemy

ARC096F

一棵树，每个节点有个权值\(m_i\)。

你要给每个点钦定一个非负整数\(c_i\)，要求：\(c_{fa_{i}}\le c_i\le c_{fa_{i}}+d\)

并且满足\(\sum m_ic_i\le x\)。

最大化\(\sum c_i\)。

\(n\le 50\)

\(x,d\le 10^9\)

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显而易见首先差分一下，就变成了一个背包问题：物品的代价为子树中\(m_i\)的和，价值为子树大小。每个物品可以取最多\(d\)个（除了根节点之外）。

现在记价值为\(v_i\)，代价为\(w_i\)。

有个十分错误的贪心：以\(\frac{v_i}{w_i}\)从大到小排序，然后贪心地选取。

考虑如何调整这个贪心做法：假如有\(\frac{v_i}{w_i}>\frac{v_j}{w_j}\)，如果选超过\(v_i\)个\(j\)，自然不如选\(v_j\)个\(i\)（如果这个时候还有\(v_j\)个\(i\)）。这时候就可以调整一下。

于是每个物品个数就取\(\min(n,d)\)个做多重背包，然后剩下的贪心即可。

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using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 55
#define ll long long
#define INF 1000000000
int n,x,d;
int p[N];
ll w[N],v[N];
ll f[N*N*N];
int q[N];
bool cmpq(int a,int b){return (ll)v[a]*w[b]>(ll)v[b]*w[a];}
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	scanf("%d%d%d%lld",&n,&x,&d,&w[1]),v[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;++i)
		scanf("%lld%d",&w[i],&p[i]),v[i]=1;
	for (int i=n;i>=2;--i){
		w[p[i]]+=w[i];
		v[p[i]]+=v[i];
	}
	int c=min(n,d);
	memset(f,63,sizeof f);
	f[0]=0;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		ll w_=w[i],v_=v[i];
		int r=c;
		for (int lg=0;r;++lg){
			w_=w[i]*min(1<<lg,r);
			v_=v[i]*min(1<<lg,r);
			r-=min(1<<lg,r);
			for (int k=n*c*i;k>=v_;--k)
				f[k]=min(f[k],f[k-v_]+w_);
		}
	}
	d-=c;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		q[i]=i;
	sort(q+1,q+n+1,cmpq);
	ll ans=0;
	for (int j=0;j<=n*n*n;++j){
		if (f[j]>x) continue;
		ll r=x-f[j],s=j;
		for (int i=1;i<=n;++i){
			ll t=min(r/w[q[i]],q[i]==1?(ll)INF:d);
			r-=w[q[i]]*t;
			s+=v[q[i]]*t;
		}
//		printf("%d %lld %lld\n",j,f[j],s);
		ans=max(ans,s);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}