AGC036E ABC String
AGC036E
有个由\(A,B,C\)组成的字符串，要找到其中最长的一个子序列，满足：
\(A,B,C\)出现次数相等。
子序列中相连的字母不同。
\(|S|\le 10^6\)
似乎杂题的时候遇见过呢。。。
这题是个乱搞好题，反正看网上若干篇博客都感觉不一样。
这里说说我的乱搞做法：
显然有这样一条性质：对于一个字符串来说，如果有个子序列满足相连的字母不同，那么它一定可以通过如此操作：每次删去形如\(BAC\)中的\(A\)，或者\(BAB\)中的\(AB\)（或\(BA\)）得到，并且满足删的过程中一直满足相连的字母不同。
接下来假设\(cnt_A\ge cnt_B \ge cnt_C\)。
假如只删\(AB\)或\(AC\)，设\(z\)为每一个字母剩下的出现次数，那么有\(cnt_A-z=cnt_B-z+cnt_C-z\)，即\(z=cnt_B+cnt_C-cnt_A\)
我们先只做删\(A\)的操作，再只做\(AB\)或\(AC\)的操作。那么我们就要最小化\(cnt_A\)（当然最小也要大于等于\(cnt_B\)），所以在\(cnt_A>cnt_B\)时尽量找可以删的\(A\)，然后删之。
假如删去的所有的可以删的\(A\)，那么不存在形如\(BAC\)的结构，只会存在\(BABAB\dots AB\)这样的。可以发现，无论后面怎么操作，都不会出现必须做删\(A\)操作才能够到达的状态（也就是说即使有也可以通过删\(AB\)之类的替换），所以只操作删\(AB\)操作在当前状况下是最优的。这时候\(z\)可以直接取到\(cnt_B+cnt_C-cnt_A\)。证明：设\(L_B,L_C\)分别为可以删\(AB\)和\(AC\)最多次数。如果\(z\)符合条件，必有\(B-z\le L_B\)，也就是\(A-L_B\le C\)，此时存在的\(A\)要么夹在\(B\)之间要么夹在\(C\)之间，\(A-L_B\)意味着夹在\(C\)之间的\(A\)的个数，所以显然不会超过\(C\)。\(L_C\)的证明同理。设\(S_A\)表示删\(A\)操作的最多次数，那么\(cnt_B+cnt_C-cnt_A+S_A\)是此时的答案。这样在当前状况下得到的最优的答案。
这同时也是全局状况下最优解的答案，证明（这里的证明比较感性，不够严谨，期待更好的证明）：假如我们通过这个方法确定了一个方案，不难发现改变操作顺序没有任何影响，所以这是只有删\(A\)、\(AB\)、\(AC\)操作下的最优解。如果要更优，那么就可能要引入删\(B\)或\(C\)甚至\(BC\)的操作。不考虑删\(C\)或\(BC\)操作（这种操作一眼就感觉不存在。。。），设删\(B\)操作要做\(x\)次，删\(A\)操作要做\(y\)次。那么有\(z=cnt_C+cnt_B-cnt_A+y-x\)，如果它更优，就有\(y-x>S_A\)，所以\(y>x+S_A\)，之前定义了\(S_A\)是删\(A\)操作的最多次数，要是满足这个条件，这个最多次数一定在操作过程中发生了增加，增加无非就是\(BABC\to BAC\)这种形式，又因为\(BAC\)中的\(A\)是消耗品，所以最终变成\(BC\)。这和直接删\(AB\)是等价的。于是引入\(B\)操作就是相当于\(AB\)拆成删\(B\)和删\(A\)，没有本质突破。所以最优解由删\(A\)、\(AB\)和\(AC\)的得到，即上面所述答案。
假如没有删去所有可以删的\(A\)，那么这时候一定有\(cnt_A=cnt_B\ge cnt_C\)。\(z\)可以取到\(cnt_B+cnt_C-cnt_A=cnt_C\)，以下证明\(cnt_A-cnt_C\le L_B\)：变一下就是\(cnt_A-L_B-L_C\le cnt_C-L_C\)，这样可以等价成一个只有所有\(A\)都在形如\(BAC\)形式的字符串，且不存在\(ABA\)和\(ACA\)。假如不成立，由于一个\(BAC\)带着一个\(A\)和\(C\)，我们希望\(cnt_A'>cnt_C'\)，自然是要让\(C\)被出现在两组\(BAC\)之中，就会出现形如\(BACAB\)的结构，然而这个时候是存在了一个\(ACA\)的，于是就矛盾了。证完之后，我们得到：如果只删\(AB\)，那么能够达到答案是\(cnt_C\)。显然\(cnt_C\)同时也是答案的上限，所以这样在当前状况下也能得到最优答案，同时也是全局状况下的最优答案。
综上，我们得到了一个策略：先做删\(A\)的操作，删到不能删或者\(cnt_A=cnt_B\)为止。然后取\(z=cnt_B+cnt_C-cnt_A\)，适当得删些\(AB\)和\(AC\)。这样就得到了一个正确的做法。
话说有些证明都是我写题解的时候脑补出来的呢，当时切题的时候拍了好久没有问题就直接干了。
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#define N 1000010
int n;
char str[N];
int cnt[3],p[3],re[3];
void adjust(int &A,int &B,int &C){
memset(cnt,0,sizeof cnt);
for (int i=1;i<=n;++i)
cnt[str[i]-'A']++;
for (int i=0;i<3;++i)
p[i]=i;
for (int i=0;i<3;++i)
for (int j=1;j<3;++j)
if (cnt[p[j-1]]<cnt[p[j]])
swap(p[j-1],p[j]);
for (int i=0;i<3;++i)
re[p[i]]=i;
for (int i=1;i<=n;++i)
str[i]=re[str[i]-'A']+'A';
A=cnt[p[0]],B=cnt[p[1]],C=cnt[p[2]];
}
struct LIST{
LIST *pre,*suc;
char c;
} s[N];
void erase(LIST *p){
p->pre->suc=p->suc;
p->suc->pre=p->pre;
}
bool BAC(LIST *p){return p->c=='A' && p->pre->c!=p->suc->c;}
bool BAB(LIST *p){return !p->pre->c || !p->suc->c || p->pre->c==p->suc->c;}
int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
scanf("%s",str+1);
n=strlen(str+1);
int tmp=0;
for (int i=1;i<=n;++i)
if (str[i]!=str[i-1])
str[++tmp]=str[i];
n=tmp;
str[n+1]=0;
int A,B,C;
adjust(A,B,C);
if (C==0)
return 0;
// printf("%s\n",str+1);
s[0].suc=&s[1];
s[n+1].pre=&s[n];
for (int i=1;i<=n;++i)
s[i]={&s[i-1],&s[i+1],str[i]};
for (LIST *p=s[0].suc;p!=&s[n+1] && A>B;p=p->suc)
if (BAC(p)){
A--;
erase(p);
}
// for (LIST *p=s[0].suc;p!=&s[n+1];p=p->suc)
// putchar(p->c);
// printf("\n");
int z=B+C-A;
int neB=B-z,neC=C-z;
for (LIST *p=s[0].suc;p!=&s[n+1];p=p->suc){
if (BAB(p)){
// for (LIST *p=s[0].suc;p!=&s[n+1];p=p->suc)
// putchar(p->c);
// printf("\n");
if (p->c=='A'){
if ((p->pre->c|p->suc->c)=='B')
{if (neB) erase(p->pre->c?p->pre:p->suc),erase(p),neB--;}
else
{if (neC) erase(p->pre->c?p->pre:p->suc),erase(p),neC--;}
}
else if ((p->pre->c|p->suc->c)=='A'){
if (p->c=='B')
{if (neB) erase(p->pre->c?p->pre:p->suc),erase(p),neB--;}
else
{if (neC) erase(p->pre->c?p->pre:p->suc),erase(p),neC--;}
}
}
}
for (LIST *q=s[0].suc;q!=&s[n+1];q=q->suc)
putchar(p[q->c-'A']+'A');
return 0;
}
