最小树形图——朱刘算法学习小记

参考资料:
https://www.cnblogs.com/hdu-zsk/p/8167687.html
https://www.luogu.com.cn/blog/xiaojiji/solution-p4716


一张无向图,你要用边权和最小的边来使所有点联通,显然用最小生成图。
现在的问题是,给你一张有向图并且钦定一个起点\(r\),你要选边权和最小的边使\(r\)可以到达任意点。
这就是最小树形图问题。


上面的第一篇博客有演示过程,讲得比较详细。所以这里就随便胡一下:

  1. 对于\(r\)之外的每个点\(x\),找到连向\(x\)的边权最小的边(自环除外),记为\(mn_x\)
  2. 如果存在点\(x\)满足没有这样的边连向它,那么它被孤立了,不可能有解。
  3. 将这些边都选出来,如果没有环,意味着最小树形图已经被找出来了;否则进入下一步的缩环操作。
  4. 对于每个在环中的点\(x\),连向\(x\)的边中,如果起点不在这个环内,则用其边权减去连向\(mn_x\)的边权。然后将整个环缩成一个点。
  5. 对于每个点\(x\),将\(mn_x\)的权值加入答案。

至于如何求方案:把上面的那个做法改成递归,回溯的时候,现在求出了下一层的最小树形图。下一层最小树形图中的边也包含在这一层中。把下一层最小树形图中的边在这一层中实际连向的点做标记,把这一层的所有\(mn_x\)对应的边(如果\(x\)没有被标记的话)加入最小树形图中。

这还是挺容易感性理解的。
边权减去\(mn_x\)的边权,因为\(mn_x\)的权值已经加入答案了。如果后面要选择这条边,就应该要替换\(mn_x\)。所以要用其边权减去\(mn_x\)的边权。

这样时间复杂度是\(O(nm)\),因为每轮至少会少一个连通块。


模板

这题是完整的板子(输出方案):https://www.cnblogs.com/jz-597/p/14398155.html
洛谷和LOJ上都有板题。

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 110
#define M 10010
#define INF 1000000000
int n,m,r;
struct edge{int u,v,w;} ed[M];
int pre[N],mn[N];
int id[N],cnt;
int vis[N];
int zhu_liu(){
	int res=0;
	while (1){
		for (int i=1;i<=n;++i)
			mn[i]=INF;
		for (int i=1;i<=m;++i){
			int u=ed[i].u,v=ed[i].v,w=ed[i].w;
			if (u!=v && w<mn[v])
				mn[v]=w,pre[v]=u;
		}
		for (int i=1;i<=n;++i)
			if (i!=r && mn[i]==INF)
				return -1;
		memset(vis,0,sizeof(int)*(n+1));
		memset(id,0,sizeof(int)*(n+1));
		cnt=0;
//		for (int i=1;i<=n;++i){
//			if (i==r)
//				continue;
//			res+=mn[i];
//			int x=i;
//			for (;vis[x]!=i && !id[x] && x!=r;x=pre[x])
//				vis[x]=i;
//			if (x!=r && !id[x]){
//				id[x]=++cnt;
//				for (int y=pre[x];y!=x;y=pre[y])
//					id[y]=cnt;
//			}
//		}
		for (int i=1;i<=n;++i){
			if (i==r)
				continue;
			res+=mn[i];
			if (vis[i])
				continue;
			int x=i;
			for (;vis[x]==0 && !id[x] && x!=r;x=pre[x])
				vis[x]=i;
			if (x!=r && !id[x] && vis[x]==i){
				id[x]=++cnt;
				for (int y=pre[x];y!=x;y=pre[y])
					id[y]=cnt;
			}
		}
		if (cnt==0)
			break;
		for (int i=1;i<=n;++i)
			if (!id[i])
				id[i]=++cnt;
		for (int i=1;i<=m;++i){
			int u=ed[i].u,v=ed[i].v,w=ed[i].w;
			ed[i]={id[u],id[v],w-(id[u]!=id[v]?mn[v]:0)};
		}
		n=cnt;
		r=id[r];
	}
	return res;
}
int main(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&r);
	for (int i=1;i<=m;++i){
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		ed[i]=(edge){u,v,w};
	}
	printf("%d\n",zhu_liu());
	return 0;
}

upd2021.3.6:模板中有一处错误纠正了,原版本见注释。这个错误可能会导致时间\(O(n^3)\)


Acceleration

上面第二篇博客有介绍,这里复述一下:
换一下写朱刘算法的姿势:
枚举点\(x\),找与\(x\)相连的最小边\(mn_x\),将其加进来。如果这个时候出现了环,就像上面那样缩环并且修改外面连向环中的点的边的边权,重复操作。
考虑优化这个过程,给每个点开个左偏树,左偏树中存所有连向这个点的边。左偏树支持合并,并且这里还要支持对整个左偏树进行整体减。缩环的时候将环上所有点的左偏树进行整体减,然后合并到一起。
另外用并查集来维护每个具体的点被缩到了哪个点,还要用并查集来查是否出现环。详见代码。
时间复杂度变成了\(O((n+m)\lg m)\)

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#define N 110
#define M 1010
#define INF 1000000000
int n,m,r;
struct Node* null;
struct Node{
	Node *l,*r;
	int d;
	int u,w,tag;
	void gt(int c){w+=c,tag+=c;}
	void pd(){l->gt(tag),r->gt(tag),tag=0;};
};
Node *newnode(int u,int w){
	Node *nw=new Node;
	*nw={null,null,1,u,w,0};
	return nw;
}
Node *merge(Node *a,Node *b){
	if (a==null) return b;
	if (b==null) return a;
	if (a->w>b->w) swap(a,b);
	a->pd();
	a->r=merge(a->r,b);
	if (a->l->d<a->r->d)
		swap(a->l,a->r);
	a->d=a->r->d+1;
	return a;
}
void pop(Node *&t){
	if (t==null) return;
	Node *tmp=merge(t->l,t->r);
	delete t;
	t=tmp;
}
Node *in[N];
int fa[N],bel[N];
int getfa(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=getfa(fa[x]);}
int getbel(int x){return bel[x]==x?x:bel[x]=getbel(bel[x]);}
int pre[N],mn[N];
int ZLA(){
	int res=0;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		bel[i]=i,fa[i]=i;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (i!=r){
			int x=getbel(i);
			while (1){
				while (in[x]!=null && getbel(in[x]->u)==x)
					pop(in[x]);
				if (in[x]==null)
					return -1;
				pre[x]=getbel(in[x]->u);
				res+=mn[x]=in[x]->w
				int y=pre[x];
				if (x!=getfa(y)){
					fa[x]=getfa(y);
					break;
				}
				in[x]->gt(-mn[x]);
				for (;y!=x;y=getbel(pre[y])){
					bel[y]=x;
					in[y]->gt(-mn[y]);
					in[x]=merge(in[x],in[y]);
				}
			}
		}
	return res;
}
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&r);
	null=new Node;
	*null={null,null,0,0,0,0};
	for (int i=1;i<=n;++i)
		in[i]=null;
	for (int i=1;i<=m;++i){
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		in[v]=merge(in[v],newnode(u,w));
	}
	printf("%d\n",ZLA());
	return 0;
}
posted @ 2020-07-31 19:31  jz_597  阅读(154)  评论(0编辑  收藏  举报