逆波兰表达式（后缀表达式）

什么是逆波兰表达式？

逆波兰表达式（Reverse Polish Notation，简称 RPN），也被称为后缀表达式，是一种数学表达式的书写方式。在逆波兰表达式中，所有的操作符（如加、减、乘、除）都严格跟在它们的操作数之后。

这种表达方式是由波兰逻辑学家扬·武卡谢维奇（Jan Łukasiewicz）提出的“波兰表达式”（前缀表达式，操作符在前面）演变而来的，因此得名。

与传统表达式的对比

我们日常生活中最习惯使用的数学书写方式叫作中缀表达式（操作符在数字中间）。

• 中缀表达式：3 + 4
• 逆波兰表达式：3 4 +

当中缀表达式变得复杂时，我们必须依赖括号和运算优先级（先乘除后加减）来决定计算顺序。而逆波兰表达式的一大特点就是完全不需要括号，它的运算顺序严格按照从左到右的位置来决定。

稍微复杂一点的对比：

• 中缀表达式：5 + ((1 + 2) * 4) - 3
• 逆波兰表达式：5 1 2 + 4 * + 3 -

计算机如何计算逆波兰表达式？

逆波兰表达式之所以在计算机科学中非常重要，是因为它完美契合了栈（Stack）这种“后进先出”的数据结构，让计算机处理起来极其高效。其计算规则如下：

1. 从左到右依次扫描表达式中的每一项。
2. 如果遇到数字，就将其直接压入栈中。
3. 如果遇到操作符，就从栈顶弹出两个数字，用这个操作符对它们进行计算（注意：先弹出的数字在操作符右边，后弹出的在左边），然后将得出的结果再次压入栈中。
4. 一直重复上述步骤，直到整个表达式扫描完毕。此时栈里剩下的唯一一个数字，就是最终结果。

以 3 4 2 \* + 为例的计算步骤：

1. 读到 3：入栈。当前栈：[3]
2. 读到 4：入栈。当前栈：[3, 4]
3. 读到 2：入栈。当前栈：[3, 4, 2]
4. 读到 *：弹出栈顶的 2 和 4，计算 4 * 2 = 8，将 8 入栈。当前栈：[3, 8]
5. 读到 +：弹出栈顶的 8 和 3，计算 3 + 8 = 11，将 11 入栈。当前栈：[11]
6. 扫描结束，弹出最终结果 11。

逆波兰表达式的优势

• 消除歧义，无需括号：无论多么复杂的公式，都不需要括号来改变优先级。
• 解析极其迅速：计算机只需从左到右扫描一遍（\(O(N)\) 时间复杂度）即可得出结果，不需要像中缀表达式那样构建复杂的语法树或反复检查优先级。