多重排列公式

多重集合的排列公式

对于多重集合的排列，如果有 $ n $ 个物品，其中包含：

• \(x_1\) 个相同的类型 1 物品
• \(x_2\) 个相同的类型 2 物品
• ...
• \(x_k\) 个相同的类型 k 物品

那么这些物品的不同排列数为：

\[\frac{n!}{x_1! \cdot x_2! \cdot \ldots \cdot x_k!} \]

公式解释

1. 基本情况：

   • 如果所有物品都不同，排列数为 $ n! $（全排列）

2. 重复项的修正：

   • 因为有 $ x_1 $ 个相同类型1物品，它们互换位置不产生新排列，故需除以 $ x_1! $
   • 同理，对类型2需除以 $ x_2! $
   • ...
   • 对类型k需除以 $ x_k! $

3. 最终公式：

   • 通过上述修正得到：
   \[\text{排列数} = \frac{\text{总排列数}}{\text{各重复项的排列数}} = \frac{n!}{\prod_{i=1}^k x_i!} \]