集合论概念：cardinality（势、基数）

基数和势是集合论中的两个相关但稍有不同的概念。它们之间有细微的区别，特别是在不同类型的集合上。

势（Cardinality）：

• 势通常是集合中元素个数的“数量”或“大小”。
• 对于有限集合，势就是集合中的元素个数。
• 对于无限集合，势用于表示集合的“大小”，但是它不像有限集合那样简单地用数字表示。

基数（Cardinality）：

• 基数是势的数学术语，特别用来描述集合大小的“度量”。
• 基数可以用来表示一个集合的势。在有限集合中，基数和势是一样的，通常指集合中元素的个数。
• 对于无限集合，基数帮助区分不同类型的无限集合。通过基数，我们可以理解不同无限集合的大小是如何比较的。

关系：

• 在实际使用中，势和基数可以互换使用，特别是对于有限集合。
• 对于无限集合，基数用来描述集合的“势”，但基数是一个更严格的数学术语。

举个例子来更好地理解：

1. 有限集合：
   • 集合 A={1,2,3}A = {1, 2, 3}A={1,2,3}，
     • 势：集合 AAA 的势是 3，因为有 3 个元素。
     • 基数：集合 AAA 的基数也是 3。
2. 无限集合：
   • 集合 N={1,2,3,… }\mathbb{N} = {1, 2, 3, \dots}N={1,2,3,…}（自然数集合），
     • 势：自然数集合是一个无限集合，我们可以说它的势是 无限。
     • 基数：自然数集合的基数被称为 阿列夫零（ℵ0\aleph_0ℵ0），它是表示 可数无限集合 的基数。
3. 另一个无限集合的例子：
   • 集合 R={x∣x 是实数}\mathbb{R} = {x \mid x \text{ 是实数}}R={x∣x 是实数}（实数集合），
     • 势：实数集合也是一个无限集合，我们可以说它的势是 无限。
     • 基数：实数集合的基数通常记作 c\mathfrak{c}c（连续统基数），比自然数集合的基数要大。

区别总结：

• 势：一般来说，它表示集合的大小或元素的数量。在有限集合中，势就是元素个数；在无限集合中，势可以表示“无限”的大小。
• 基数：严格来说，是用来衡量和比较集合大小的一个数学概念，特别是在讨论无限集合时，基数用于区分不同大小的无限集合。

所以，虽然在实际应用中，它们有时可以互换使用，但 基数 是一个更加正式和精确的数学概念，尤其是在描述无限集合时。势 更常见于日常用语中，是一个更为宽泛的术语。