动态规划笔记

一、动态规划题型及出现场景

动态规划题型：线性、背包、树形、区间、状态压缩
CSP-J 3-4题，CSP-S 2-4题，GESP五-八级

1. 背包问题：有n个物品，每个都能描述为选和不选
2. 树形dp：起码有树，既不求并查集（连通性），也不求生成树，也不求LCA（求两点最近公共祖先），那就是树形dp
3. 线性dp：不是背包、不是树形、题目描述没有区间，那么不是线性就是贪心
4. 区间dp：起码有区间，并且要验证答案能否由任意小区间合并得到大区间
5. 状态压缩：子集枚举的优化（剪枝），起码50%数据 n<=20, 100%数据 n<=100

二、常见题型的状态定义、初始化、转移

1. 最长上升子序列（线性枚举前面的）

定义：f[i] 表示以 i 结尾的最长上升子序列长度
初始化：f[i] = 1
状态转移： f[i] = max(f[i], f[j] + 1)
(i ∈ [1, n], j ∈ [1, i-1], a[i] > a[j])

答案：ans = max(ans, f[i])

优化：n * logn
通过 pos = lower_bound(f + 1, f + 1 + top, a[i]) - f
判断是否需要替换 f[pos] = a[i] 或者 f[++top] = a[i]

2. 最大子段和（仅和前一个有关）

定义：f[i] 表示以第 i 个数字结尾的最大子段和
初始化：无
状态转移：

f[i] = max(f[i - 1] + a[i], a[i])

f[i-1]+a[i]表示a[i]归纳入前一段，或者以自己作为一段的开头即：a[i]
答案：ans = max(ans, f[i])

3. 二维空间移动DP（经常和前一个、上面、左边等相邻位置相关）

举例：可以向右或向下移动，问走到右下角的方案数，那么就可以转变成一个点只能从左边或者上边走下来
定义：f[i][j]表示走到i行j列的最大值/方案数
初始化：无，看题意
状态转移：
最大值：f[i][j] = max(f[i - 1][j]上, f[i][j-1]左) + a[i][j]
方案数：f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1], f[1][1] = 1
答案：f[n][m]右下角

4. 二维木板线性DP（可以从一个木板/线段的左右端点落下）

定义：f[i][0]表示走到第i个木板的左端点最优值，f[i][1]表示走到第i个木板的右端点最优值
初始化：看题意
状态转移：

f[i][0] = max/min(f[i - 1][0] + 左到左距离, f[i - 1][1] + 右到左距离)
f[i][1] = max/min(f[i - 1][0] + 左到右距离, f[i - 1][1] + 右到右距离)

5. 01背包

定义：f[j]表示第i个物品时剩余j空间时的最大价值
初始化：看题意，正常是无
状态转移：

for(int i = 1; i <= n; i++)
  for(int j = m容量; j >= w[i]重量; j--) // 01背包逆序遍历容量，因为逆着遍历只会覆盖i-1轮时的f[j]，才能保证第i轮物品只拿一次
    f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]价值)

6. 01背包按价值DP（重量w[i] > 1e8，避免f[j]爆内存）

P14920 [GESP202512 六级] 道具商店
需要有一个sum = n个物品价值总和，sum += v[i]
定义：f[j]表示第i个物品时价值为j所需的最小空间大小
初始化：f = inf, f[0] = 0

for(int i = 1; i <= n; i++)
  for(int j = sum总共价值; j >= v[i]价值; j--)
    f[j] = min(f[j], f[j - v[i]] + w[i])

for(int j = sum; j >= 0; j--)
  if(f[j] < inf && f[j] <= m){
    此时j就是最大价值，输出j，break；
}

7. 完全背包之最大值DP

定义：f[j]表示第i个物品时容量为j的最大价值

for(int i = 1; i <= n; i++)
  for(int j = w[i]重量; j <= m容量; j++)
    f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]价值)

8. 背包方案数

定义：f[j]表示第i个物品，容量为j时有多少种装载方案
初始化：f[0] = 1
循环：01就逆序，完全就正序
状态转移：f[j] += f[j - w[i]]