P4158 [SCOI2009] 粉刷匠

关键点解析

1. 前缀和 sum[i][j]：

   • 统计第 i 条木板前 j 个格子中 '1' 的数量，用于快速计算某段区间涂 '0' 或 '1' 的正确数。

2. 木板内部 DP g[i][j][k]：

   • 定义：第 i 条木板用 j 次粉刷，前 k 个格子的最大正确数。

   • 转移：

     • 枚举上一次粉刷的结束位置 q。

     • 当前段 [q+1, k] 可以涂 '0' 或 '1'，取最大值：

       • 涂 '1' 的正确数：sum[i][k] - sum[i][q]（初始就是 '1' 的格子数）。

       • 涂 '0' 的正确数：(k - q) - (sum[i][k] - sum[i][q])（初始是 '0' 的格子数）。

3. 全局 DP f[i][j]：

   • 定义：前 i 条木板用 j 次粉刷的最大正确数。

   • 转移：

     • 枚举当前木板使用的粉刷次数 k，取 f[i-1][j-k] + g[i][k][m] 的最大值。

4. 答案统计：

   • 遍历所有可能的粉刷次数 1 到 t，取 f[n][i] 的最大值。

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总结

• 预处理：利用前缀和快速计算区间颜色分布。

• 动态规划：

  • 木板内部：g[i][j][k] 计算单条木板的最优解。

  • 全局：f[i][j] 合并所有木板的最优解。

• 时间复杂度：O(n × m² × t)，适用于题目数据范围。

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  
  // 定义全局变量
  int f[51][2550];      // f[i][j]：前 i 条木板，用 j 次粉刷的最大正确数
  int sum[51][2550];    // sum[i][j]：第 i 条木板前 j 个格子中 '1' 的数量（前缀和）
  int g[51][2550][51];  // g[i][j][k]：第 i 条木板用 j 次粉刷，前 k 个格子的最大正确数
  int n, m, t;          // 输入：n 条木板，每条 m 格，最多 t 次粉刷
  char s[150];          // 临时存储每行输入
  
  int main() {
      cin >> n >> m >> t;
  
      // 预处理每条木板的 '1' 的前缀和（sum[i][j]）
      for (int i = 1; i <= n; i++) {
          cin >> s;
          sum[i][0] = 0;  // 前缀和初始化
          for (int j = 1; j <= m; j++) {
              if (s[j - 1] == '1') 
                  sum[i][j] = sum[i][j - 1] + 1;  // 统计 '1' 的个数
              else 
                  sum[i][j] = sum[i][j - 1];      // 否则保持不变
          }
      }
  
      // 计算 g[i][j][k]：第 i 条木板用 j 次粉刷，前 k 个格子的最大正确数
      for (int i = 1; i <= n; i++)          // 遍历每条木板
          for (int j = 1; j <= m; j++)      // 遍历粉刷次数（最多 m 次）
              for (int k = 1; k <= m; k++)   // 遍历前 k 个格子
                  for (int q = j - 1; q < k; q++) {  // 枚举上一次粉刷的结束位置 q
                      // 状态转移：
                      // g[i][j][k] = max(当前值, 前 q 个格子用 j-1 次粉刷的最大值 + 当前段的最优解)
                      g[i][j][k] = max(
                          g[i][j][k],
                          g[i][j - 1][q] + max(
                              sum[i][k] - sum[i][q],       // 当前段涂 '1' 的正确数
                              (k - q) - (sum[i][k] - sum[i][q])  // 当前段涂 '0' 的正确数
                          )
                      );
                  }
  
      // 全局 DP：f[i][j] = 前 i 条木板用 j 次粉刷的最大正确数
      for (int i = 1; i <= n; i++)          // 遍历每条木板
          for (int j = 1; j <= t; j++)      // 遍历总粉刷次数
              for (int k = 0; k <= min(j, m); k++)  // 当前木板使用 k 次粉刷
                  f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k] + g[i][k][m]);
  
      // 找出所有粉刷次数（1 到 t）中的最大值
      int ans = 0;
      for (int i = 1; i <= t; i++) 
          ans = max(ans, f[n][i]);
  
      cout << ans;  // 输出结果
      return 0;
  }