P4588 [TJOI2018] 数学计算 线段树

解题思路

这道题需要维护一个动态变化的数值x，支持两种操作：乘法和撤销之前的乘法。关键在于如何高效处理这些操作，特别是在模运算环境下。

核心思路

1. 线段树维护乘积：使用线段树来维护所有操作的乘积，每个叶子节点代表一次操作

2. 乘法操作：将对应位置更新为乘数m

3. 撤销操作：将被撤销的操作位置重置为1（乘法单位元）

4. 查询结果：每次操作后查询整个区间的乘积，即为当前x的值

为什么使用线段树？

• 直接模拟乘除法在模运算下不可行（除法不满足模运算性质）

• 线段树可以在O(logQ)时间内完成单点更新和区间查询

• 可以高效处理撤销操作的影响

代码注释

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define lc rt << 1      // 左子节点编号
#define rc rt << 1 | 1   // 右子节点编号
#define lson lc,l,mid    // 左子树区间
#define rson rc,mid + 1,r // 右子树区间
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10, inf = 0x3f3f3f3f;

struct node {
    ll mul;  // 存储区间乘积
};

node t[N << 2];  // 线段树数组，大小是4倍操作数
ll n, mod;       // n:操作次数，mod:模数

// 更新父节点的乘积
void pushup(int rt) {
    t[rt].mul = (t[lc].mul * t[rc].mul) % mod;
}

// 构建线段树
void build(int rt, int l, int r) {
    if(l == r) {  // 叶子节点
        t[rt].mul = 1;  // 初始化为1（乘法单位元）
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(lson);  // 构建左子树
    build(rson);  // 构建右子树
    pushup(rt);   // 更新当前节点
}

// 单点修改
void change(int rt, int l, int r, int x, int y) {
    if(r < x || x < l) return;  // 超出修改范围
    if(l == r) {  // 找到目标位置
        t[rt].mul = y % mod;  // 更新值并取模
        return;
    } 
    int mid = (l + r) >> 1;
    change(lson, x, y);  // 修改左子树
    change(rson, x, y);  // 修改右子树
    pushup(rt);          // 更新父节点
}

// 区间查询
ll query(int rt, int l, int r, int x, int y) {
    if(r < x || y < l) return 1;  // 超出查询范围返回1（乘法单位元）
    if(x <= l && r <= y) return t[rt].mul;  // 完全包含区间
    int mid = (l + r) >> 1;
    // 左右子树查询结果相乘
    return (query(lson, x, y) * query(rson, x, y)) % mod;
}

int main() {
    int t; cin >> t;  // 测试用例数
    while(t--) {
        cin >> n >> mod;  // 操作次数和模数
        build(1, 1, n);   // 初始化线段树
        
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            int op, k;
            scanf("%d%d", &op, &k);  // 读取操作类型和参数
            
            if(op == 1) {  // 乘法操作
                change(1, 1, n, i, k);  // 第i个位置设为k
                printf("%lld\n", query(1, 1, n, 1, n) % mod);  // 查询全部区间
            }
            if(op == 2) {  // 撤销操作
                change(1, 1, n, k, 1);  // 第k个位置重置为1
                printf("%lld\n", query(1, 1, n, 1, n) % mod);  // 查询全部区间
            }
        }    
    }
    return 0;
}