LCA随堂笔记

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）为例题

1.公共祖先：

一棵树上，有父节点和子节点，那么如何才能知道两个节点的共同祖先是谁？
拿左图为例，假设4是整个树的祖先，那么(5,3)的公共祖先就有1和4

2.最近公共祖先LCA：

显然(5,3)有两个公共祖先1和4，那么请问如何才能求出距离(5,3)最近的公共祖先1？

3.设dep[x]表示x在树上的深度

那么当dep[x] > dep[y]时，说明x更深，需要往上跳
当dep[x] == dep[y]时，说明跳到的层级是一样的
如果层级一样且x == y，那么说明此时的x就是之前查询两点最近公共祖先LCA

4.弊端，

假设有m=10W查询，n=10W节点，那么最坏情况下，每次都从最低端往上跳，跳到最顶端那就是要跳n次，总时间复杂度为：O（n * m)超时，合理应该是n或m变成log级别才能通过

考虑到m次查询不能减少，所以目标就转变为将n次跳跃变成logn次
即：每次不能往上跳一级，而是要跳倍数级

5.任何一个数字都可以被拆分成若干个2的次方相加得来

例如9 = 8 + 1 = 2^3 + 2^0
10 = 8 + 2 = 2^3 + 2^1
所以在诸多倍数中，选择跳2的倍数步可以保证覆盖所有的节点
则时间复杂度降低为m * log2n

倍增求LCA

6.建树，使用dfs(int x,int fa) fa表示x的父节点

主函数调用dfs(1,0)，设1为根结点开始建树，默认节点1的父节点为0dep[x]:x在树上的深度
dep[x] = dep[fa] + 1

假设y是和x链接的节点，如果y != fa，说明y可以是x的子节点
那么dfs(y,x)
例如当x = 1，y = 5时，就会触发dfs(5,1)
例如当x = 1，y = 3时，就会触发dfs(3,1)

dfs结束后，得到dep数组，根据查询节点的dep数组的大小，决定节点是否要继续往上跳

 

7.往上跳，怎么知道跳哪了？

往上跳1步，到哪？
往上跳2步，到哪?
往上跳4步，到哪?
。。。
往上跳1024步，到哪？
往上跳2的多少次方，才算够？

往上跳最多2^20，包够

 

8.往上跳的状态

设f[x][i]：在x点往上跳2^i次方步到哪

因为

2^i = 2^(i-1) * 2

2^i = 2^(i-1) + 2^(i-1)

所以往上跳2^i步，可以转换为：
先往上跳2^(i-1)步到达中间节点y
再从y往上跳2^(i-1)步到达目标点

 

先设y = f[x][i - 1]，x只往上跳2^(i - 1)步
然后再让y往上跳剩下的2^(i - 1)步
即：
int y = f[x][i - 1]
f[x][i] = f[y][i - 1]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f[1][3] 从1往上跳8步到9

f[1][2] 先从1往上跳4步到5
再从f[5][2]从5往上跳4步到9

9.以上，全部发生在dfs预处理阶段

可以得到整棵树的dep[N]深度数组
和f[x][i]:x往上跳2^i步能到哪
目前还没求最近公共祖先

10.lca(x,y)返回x和y的最近公共祖先函数

我们之前说过让x和y深度较深的那一个先往上跳
跳到dep[x] == dep[y]深度相同，然后一起往上跳
只不过之前是一步步往上，现在是一次跳2^i步

但是往上跳也有说法，i从小到大跳，还是i从大到小跳？

从贪心的角度出发，i从小到大跟一步步跳没区别，所以最快到达祖先的方式是从大到小跳

11.两点距离公式

dep[x] + dep[y] - 2 * dep[lca(x,y)]
dep[x]：从根结点到达x的距离

P4281：求三点的LCA计算到达LCA的距离之和

 

12.树上差分P3128

设差分数组d[i]:第i个数字和前一个数字的差值
d[i] = a[i] - a[i - 1]
对于一个区间修改[3,4]增加2
d[3] += 2, d[4 + 1] -= 2
d[L] += 2,d[R + 1] -= 2

a = 3 1 6 5 4
d = 3 -2 5 -1 -1
区间修改[3,4]增加2
a = 3 1 8 7 4

d = 3 -2 7 -1 -3

13.对于树上让[x,y]路径都 + 1

设lca(x,y) == rt
转变为x -> rt 和y -> rt
转变[x,rt] + 1和[y,rt] + 1
再设frt表示rt的父节点，再根据差分公式，则有
d[x]++,d[frt]--
d[y]++,d[frt]--
注意：
1.frt被减了两次，实际只需要被减1次
2.因为rt被包含在了两个区间[x,rt]和[y,rt] ，所以d[rt]被加了两次
即：d[rt]--

总结：对于路径[x,y] + 1来说
int rt = lca(x,y),frt = f[rt][0];
d[x]++,d[y]++,d[rt]--,d[frt]--;

14.树上差分，如何复原?

树上差分，通过再来一次dfs遍历所有的节点
使得父节点x，可以将所有子节点y的d[y]累加起来实现复原的效果