关于LCA的dfs的一些问答

void dfs(int x,int fa)
{
    dep[x] = dep[fa] + 1;
    f[x][0] = fa;
    for(int i = 1; i <= 20; i++){
        int y = f[x][i - 1];
        f[x][i] = f[y][i - 1]; //这个状态转移需要简单示例演示过程 
    }
    for(int i = 0; i < g[x].size(); i++)
    {
        int y = g[x][i];
        if(y != fa) //为什么y不是x父节点就可以继续dfs，不会导致重复搜索吗 
            dfs(y,x);
    }
}

关于倍增LCA算法的DFS函数详解

1. 状态转移部分解析（核心难点）

for(int i = 1; i <= 20; i++){
    int y = f[x][i - 1];
    f[x][i] = f[y][i - 1]; 
}

动态规划思想：

• f[x][i] 表示节点x向上跳2^i步到达的祖先

• 状态转移方程：f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1]（跳2^i步 = 先跳2^(i-1)步，再跳2^(i-1)步）

具体示例：
假设树结构：

        A
       / \
      B   C
     / \
    D   E

计算节点D的倍增数组：

1. f[D][0] = B （2^0=1步父节点）

2. f[D][1] = f[B][0] = A （2^1=2步祖先）

3. f[D][2] = f[A][1] = null （2^2=4步超出树高）

2. 递归条件疑问解答

if(y != fa) // 为什么这个条件能避免重复搜索？
    dfs(y,x);

原因分析：

1. 树的性质决定：树是无向无环图，父子关系是我们DFS时人为规定的方向

2. 当从x访问邻居y时：

   • 如果y是x的父节点(fa)，说明这条边是"回头路"

   • 其他情况都是向下探索新分支

3. 示例：

   A → B → D
     → C

   • 当从B访问A时（A是B的父节点），应该停止

   • 从B访问D时（D不是父节点），继续搜索

3. 完整执行流程演示

以如下树结构为例：

        1
       / \
      2   3
     / \
    4   5

DFS调用栈：

1. dfs(1, null)

   • 设置dep[1]=1

   • 计算f[1][0]=null, f[1][1]=null...

   • 访问子节点2和3

2. dfs(2, 1)

   • dep[2]=2

   • f[2][0]=1, f[2][1]=f[1][0]=null...

   • 访问子节点4和5

3. dfs(4, 2)

   • dep[4]=3

   • f[4][0]=2, f[4][1]=f[2][0]=1, f[4][2]=f[1][1]=null...

   • 无子节点返回

4. dfs(5, 2) 类似过程...

4. 关键问题解答

Q1：为什么不会重复搜索？

• 因为树的无环特性，每个节点只通过非父方向向下搜索

• 访问顺序形成严格的父子关系链

Q2：为什么i从1开始循环？

• i=0的情况已经在f[x][0]=fa中处理

• 更高次的倍增基于已计算的低次结果

Q3：为什么上限是20？

• 因为2^20 ≈ 1e6，足以处理大多数树的问题

• 可根据最大深度调整：log2(max_depth)+1

5. 实际应用时的注意事项

1. 初始化要求：

   memset(f, 0, sizeof(f)); // 清空倍增数组
   dep[0] = 0; // 虚拟根节点的深度

    

2. LCA查询函数示例：

   int lca(int x, int y) {
       if(dep[x] < dep[y]) swap(x,y);
       // 跳到同一深度
       for(int i=20; i>=0; i--)
           if(dep[f[x][i]] >= dep[y])
               x = f[x][i];
       if(x == y) return x;
       // 一起向上跳
       for(int i=20; i>=0; i--)
           if(f[x][i] != f[y][i])
               x=f[x][i], y=f[y][i];
       return f[x][0];
   }