【2024GXOI进阶】分糖果(candy) 博弈论dp

分糖果博弈问题解题思路与代码注释

解题思路

1. 问题分析：

   • 这是一个双人轮流取糖果的博弈问题

   • 两人都采取最优策略，目标是使自己获得的总糖果数最多

   • 每次只能取最左边的糖果包，选择给自己或对方

   • 分配权会转移到本次未获得糖果的人手中

2. 关键观察：

   • 可以使用动态规划来解决，从后向前计算最优解

   • 定义f[i]表示从第i包到第n包糖果时，当前玩家能比对手多获得的最大糖果数

   • 状态转移方程：f[i] = max(a[i] - f[i+1], f[i+1] - a[i])

     • 第一种情况：当前玩家取第i包，对手从i+1开始能比当前玩家多f[i+1]

     • 第二种情况：当前玩家不取第i包，对手取第i包，当前玩家从i+1开始能比对手多f[i+1]

3. 结果计算：

   • 总糖果数为sum

   • 最终小林比小伊多的糖果数为f[0]

   • 小林获得的糖果数为(sum + f[0])/2

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long  // 定义long long类型简写
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;  // 定义最大糖果包数
int n, a[N], f[N];       // n-糖果包数，a-糖果数量数组，f-DP数组
ll sum;                  // 所有糖果总数

int main()
{
    cin >> n;  // 输入糖果包数
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];      // 输入每包糖果数量
        sum += a[i];     // 计算总糖果数
    }
    
    // 从后向前动态规划计算
    for(int i = n; i >= 0; i--) {
        // 状态转移方程：
        // 当前玩家可以选择取或不取第i包糖果
        // 取：a[i] - f[i+1] (获得a[i]，但对手在i+1后能比玩家多f[i+1])
        // 不取：f[i+1] - a[i] (对手获得a[i]，玩家在i+1后能比对手多f[i+1])
        f[i] = max(a[i] - f[i + 1], f[i + 1] - a[i]);
    }
    
    // 计算最终结果：(总糖果 + 小林比小伊多的糖果)/2 = 小林获得的糖果
    ll ans = (sum + f[0]) / 2;
    cout << ans;
    
    return 0;
}

为什么 a[i] - dp[i+1] 是自己拿的净收益？

1. 自己拿第 i 包：

   • 当前玩家获得 a[i] 糖果。

   • 对手没有拿到糖果，因此分配权转移给对手。

   • 对手在剩下的 i+1 到 n 包糖果中会采取最优策略，获得比当前玩家多 dp[i+1] 的糖果（因为 dp[i+1] 是从 i+1 开始时的差值，此时对手是“当前玩家”）。

   • 因此，当前玩家的净收益是：

     自己拿的 �[�]−对手后续的净收益 ��[�+1]自己拿的a[i]−对手后续的净收益dp[i+1]

   • 即 a[i] - dp[i+1]。

2. 举例说明：
   假设剩余糖果为 [5, 7, 9]，当前玩家是小林：

   • 小林拿 5：获得 5，分配权转给小伊。

   • 小伊面对 [7, 9] 时，会通过最优策略获得比小林多 dp[i+1] 的糖果（假设 dp[i+1]=2）。

   • 小林的净收益是 5 - 2 = 3。

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为什么 -a[i] + dp[i+1] 是让对方拿的净收益？

1. 让对方拿第 i 包：

   • 对手获得 a[i] 糖果。

   • 当前玩家没有拿到糖果，因此分配权仍归自己。

   • 当前玩家在剩下的 i+1 到 n 包糖果中继续作为“当前玩家”，能获得比对手多 dp[i+1] 的糖果。

   • 因此，当前玩家的净收益是：

   • 即 -a[i] + dp[i+1]。

2. 举例说明：
   继续 [5, 7, 9] 的例子：

   • 小林让小伊拿 5：小伊获得 5，分配权仍归小林。

   • 小林面对 [7, 9] 时，能通过最优策略获得比小伊多 dp[i+1] 的糖果（假设 dp[i+1]=2）。

   • 小林的净收益是 -5 + 2 = -3（此时小伊总收益更多）。

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为什么取 max？

当前玩家会选择对自己更有利的策略：

• 自己拿：净收益 a[i] - dp[i+1]。

• 对方拿：净收益 -a[i] + dp[i+1]。
  选择两者中的最大值，即：

dp[i]=max(a[i]−dp[i+1],−a[i]+dp[i+1])

 

 

为什么需要倒序遍历动态规划数组 dp？

在解决这个分糖果的博弈问题时，我们使用动态规划（DP）来记录从第 i 包到第 n 包糖果时，当前拥有分配权的玩家能比对手多获得的糖果数。关键在于理解 dp[i] 依赖于 dp[i+1]，即当前状态依赖于后续状态。以下是详细解释：

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1. 依赖关系：当前状态需要知道后续状态的结果

• 定义：dp[i] 表示从第 i 包到第 n 包糖果时，当前玩家的最大净收益。

• 依赖：为了计算 dp[i]，我们需要知道 dp[i+1]（即从第 i+1 包到第 n 包的结果），因为当前玩家的选择会影响后续的分配权归属和收益。

  • 如果自己拿第 i 包，对手会在 i+1 到 n 包中采取最优策略（即 dp[i+1] 是对手的净收益）。

  • 如果让对方拿第 i 包，自己会在 i+1 到 n 包中继续作为当前玩家（即 dp[i+1] 是自己的净收益）。

• 结论：dp[i] 的计算必须基于 dp[i+1]，因此需要先计算 dp[i+1]，再计算 dp[i]。这就是倒序遍历的原因。

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