T603757 市场贸易 最短路BMF

解题思路

这道题可以建模为一个单源最短路问题，目标是找到从初始商品 a 到目标商品 b 的最小花费（可能是负数）。

关键点分析

1. 商品交换的花费计算：

   • 如果 v[x] > v[y]，交换后你会获得 v[x] - v[y] 元，但需要支付 1 元手续费，所以总花费是 -(v[x] - v[y]) + 1。

   • 如果 v[x] < v[y]，你需要支付 v[y] - v[x] + 1 元。

   • 综上，每次交换的花费可以表示为 (a[y] - a[x]) + 1（因为 a[y] - a[x] 可能是正或负）。

2. 图建模：

   • 每种商品是一个节点，交换关系是有向边。

   • 边权 = (a[y] - a[x]) + 1（即交换的花费）。

   • 问题转化为：从节点 a 出发，找到到节点 b 的最短路径（路径权值和最小）。

3. 最短路算法选择：

   • 由于边权可能是负数，不能直接用 Dijkstra（需要非负权值）。

   • 本题可以用 Bellman-Ford（BMF）算法，因为它能处理负权边，并且可以检测负环（虽然本题不需要）。

   • 由于 n 和 m 较大（n ≤ 1e5, m ≤ 2e5），标准的 BMF（复杂度 O(nm)）可能会超时，但题目数据可能较宽松，或者本题的 BMF 实现优化后可以通过。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10, inf = 0x3f3f3f3f;

struct node {
    int x, y, z;  // x: 当前商品, y: 目标商品, z: 交换花费 (a[y] - a[x] + 1)
};

int n, m, s, e;  // n: 商品数量, m: 商人数量, s: 起始商品, e: 目标商品
int a[N];        // a[i]: 第 i 种商品的价值
node t[N];       // t[i]: 第 i 个商人的交易信息 (x, y, z)
int dis[N];      // dis[i]: 从 s 到 i 的最小花费

// Bellman-Ford 算法求单源最短路
void BMF(int s) {
    memset(dis, inf, sizeof(dis));  // 初始化 dis 为无穷大
    dis[s] = 0;                     // 起点花费为 0

    // 松弛操作，最多进行 n-1 轮
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int f = 0;  // 标记本轮是否发生松弛
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int x = t[j].x, y = t[j].y, z = t[j].z;

            // 如果 x 不可达，跳过
            if (dis[x] == inf) continue;

            // 如果发现更优路径，更新 dis[y]
            if (dis[y] > dis[x] + z + 1) {
                dis[y] = dis[x] + z + 1;
                f = 1;  // 标记发生松弛
            }
        }
        if (!f) break;  // 如果本轮未松弛，提前退出
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m >> s >> e;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];  // 输入商品价值

    // 构建交易图
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        t[i] = {x, y, a[y] - a[x]};  // 边权 z = a[y] - a[x]，最终花费是 z + 1
    }

    BMF(s);  // 计算从 s 出发的最短路

    if (dis[e] == inf) cout << "No solution";  // 无法到达
    else cout << dis[e];                       // 输出最小花费

    return 0;
}

算法优化点

1. Bellman-Ford 优化：

   • 由于本题不需要检测负环，所以可以提前终止（当某轮未松弛时退出）。

   • 但最坏情况下仍需 O(nm) 时间，可能无法通过极限数据（n=1e5, m=2e5），但题目可能数据较水。

2. 更优解法（SPFA）：

   • 可以用 SPFA（队列优化的 Bellman-Ford），平均复杂度 O(km)（k 是平均入队次数），在随机数据下更快。

   • 但极端情况下（如网格图）会退化回 O(nm)。

3. Dijkstra 不可行：

   • 由于存在负权边（a[y] - a[x] + 1 可能是负的），Dijkstra 无法正确计算最短路。