并查集（Disjoint Set Union，DSU）详解

由DS倾情奉献，由CJ详细修改

并查集：
对集合进行合并merge、查找find两个操作
f[i]:i所在的集合代表是谁(i所在学校的校长是谁/i的上级/i的爹/i的父亲/i的祖先)

初始化f[i] = i : 每个人是自己的上级

合并merge(x,y)：合并x和y所在的集合,可能是x合并到y，也可能是y合并到x
俗称：x认y为爹，或y认x为爹

查询find(x):查询x的上级是谁
朴素查询：逐级往上找上级，好处是可以清晰的知道层级关系
坏处：慢，O(N)

路径压缩：通过一次查询，改变f[i]等于整个集合的祖先(最高上级)
好处是，第一次O(N)，接下来都是O(1)
坏处是，只知道祖先是谁，不知道爹是谁，忘本
扩展题：权值并查集：在忘本之前维护一些数据

性质：执行完n个点，m条边的并查集后
可以通过f[i] == i的条件数量判断n个点被区分成了几个集合

一、基本概念

并查集是一种树型数据结构，用于处理不相交集合的合并与查询问题。它支持以下两种操作：

Find：查询元素所属集合
Union：合并两个集合

核心思想

通过维护一个父节点数组，使得：

同一集合的元素最终指向同一个根节点
不同集合的元素的根节点不同

二、基础实现

1. 初始化

2. 查找（Find）

// 普通查找（无路径压缩）
int find(int x) {
    while(f[x] != x)
        x = f[x];
    return x;
}

// 带路径压缩的查找
int find(int x) {
    if(f[x] != x)
        f[x] = find(f[x]); // 路径压缩
    return f[x];
}

3. 合并（Union）

void merge(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if(fx != fy)
        f[fy] = fx; // 将fy的父节点设为fx
}

三、优化技巧

1. 路径压缩

在查找时将节点直接指向根节点，使树更扁平

2. 按秩合并

int rank[N]; // 秩数组

void merge(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if(fx != fy) {
        if(rank[fx] > rank[fy])
            f[fy] = fx;
        else {
            f[fx] = fy;
            if(rank[fx] == rank[fy])
                rank[fy]++;
        }
    }
}

四、扩展应用

1. 带权并查集

维护节点到父节点的距离信息

int f[N], d[N]; // d[i]表示i到f[i]的距离

int find(int x) {
    if(f[x] != x) {
        int root = find(f[x]);
        d[x] += d[f[x]]; // 维护距离
        f[x] = root;
    }
    return f[x];
}

2. 种类并查集（扩展域）

通过扩大域表示多种关系

        if(find(x) != find(y)){ //x和y是敌人 
            merge(x,y + n);  //x和y的敌人(y+n)是朋友 
            merge(y,x + n);  //y和x的敌人(x+n)是朋友 
        }

五、典型例题解析

例题1：银河英雄传说（带权并查集）

问题：维护战舰队列，支持合并和查询两战舰间距离

解决方案：

int f[N], size[N], d[N]; // size记录集合大小，d记录到父节点距离

int find(int x) {
    if(f[x] != x) {
        int root = find(f[x]);
        d[x] += d[f[x]]; // 维护距离
        f[x] = root;
    }
    return f[x];
}

void merge(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if(fx != fy) {
        f[fx] = fy;
        d[fx] = size[fy]; // 新距离为fy集合大小
        size[fy] += size[fx];
    }
}

例题2：关押罪犯（种类并查集）

问题：将罪犯分到两个监狱，使最大冲突最小