P1196 [NOI2002] 银河英雄传说

关键点解析

1. d[x] 的定义

• 初始时：d[x] = 0（因为 f[x] = x，自己到自己的距离为 0）。

• 合并后：如果 x 的父节点是 y，则 d[x] 表示 x 到 y 的距离（即 x 前面有多少战舰）。

• 路径压缩后：x 直接指向根节点，此时 d[x] 需要更新为 x 到根节点的总距离。

2. 路径压缩的作用

• 普通并查集：路径压缩只是让 x 直接指向根节点，不维护距离信息。

• 带权并查集：路径压缩时，需要将 x 到旧父节点的距离 d[x]，加上旧父节点到根节点的距离 d[f[x]]，得到 x 到根节点的总距离。

3. 为什么是 d[x] += d[f[x]]？

• 递归过程：find(x) 会先递归调用 find(f[x])，此时 f[x] 已经直接指向根节点，且 d[f[x]] 已经更新为 f[x] 到根节点的距离。

• 距离累加：x 到根节点的总距离 = x 到父节点的距离 d[x] + 父节点到根节点的距离 d[f[x]]。